Wydrukuj Zapisz jako PDF Dodaj do ulubionych Udostępnij materiał
iTDlAqaSFo_d5e82

Ciąg geometryczny

Przykład 1

Spotykamy się czasem ze stwierdzeniem, że zeszyt, w którym piszemy, ma format A4 albo A5. Co to oznacza? Międzynarodowa norma definiuje 3 serie formatów A, BC, przy czym formaty C związane są z określeniami formatów kopert.
Format A0 odpowiada prostokątowi o powierzchni 1 m2, przy czym jego wymiary są tak dobrane, żeby stosunek dłuższego boku do krótszego był równy 2. Mamy więc wymiary arkusza formatu A0: 1188 mm11882 mm. Format A1 jest połową formatu A0, czyli krótszy bok arkusza formatu A0 to dłuższy bok arkusza formatu A1 i stosunek dłuższego boku do krótszego jest równy 2. Zatem kartka formatu A1 ma wymiary: 11882 mm118822 mm.
Otrzymujemy ciąg liczb, z których każda następna, oprócz pierwszej, jest 2 razy mniejsza od poprzedniej, czyli (1188,11882,118822,118823,118824,...). Jakie wymiary będzie miał arkusz formatu A5?
Wymiary arkusza formatu A5 będą szóstą i siódmą liczbą w tym ciągu. Obliczamy

a6=a52=118825=2972

oraz

a7=a62=118826=11888=148,5

Zatem kartka formatu A5 ma wymiary 2972mm118826=148,5 mm.
W praktyce wymiary arkuszy są zaokrąglane do pełnych milimetrów. Otrzymujemy w ten sposób ciąg (1188,840,594,420,297,...).

R1X99ycp0j95f1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Oba przykłady opisują ciągi, w których każdy kolejny wyraz jest iloczynem wyrazu poprzedniego przez pewną ustaloną liczbę. Takie ciągi nazywamy ciągami geometrycznymi.

Ciąg geometryczny
Definicja: Ciąg geometryczny

Ciąg an nazywamy ciągiem geometrycznym, jeżeli ma przynajmniej 3 wyrazy, jego pierwszy wyraz jest różny od 0, a każdy następny wyraz jest iloczynem poprzedniego wyrazu i pewnej ustalonej liczby. Liczbę tę nazywamy ilorazem ciągu geometrycznego i oznaczamy przez q.

  • Jeśli ciąg jest skończony i ma k3 wyrazów, to a10an+1=anq dla dowolnej liczby całkowitej 1nk-1. Jeśli natomiast ciąg jest nieskończony, to a10an+1=anq dla dowolnej liczby całkowitej n1.
    Z definicji wynika, że

  • jeśli q0, to, wobec warunku a10, wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego an sa różne od zera

  • jeśli q=0, to wyrazy ciągua2, a3,a4, sa równe 0, czyli jest to ciąg postaci a1, 0,0,0,

  • Ciąg geometryczny w pewnym sensie jest podobny do ciągu arytmetycznego. W ciągu arytmetycznym kolejny wyraz jest sumą poprzedniego wyrazu i pewnej ustalonej liczby. W ciągu geometrycznym kolejny wyraz jest iloczynem poprzedniego wyrazu oraz pewnej ustalonej liczby. Dlatego techniki, którymi będziemy się posługiwać w rozwiązywaniu zadań dotyczących ciągów geometrycznych i ciągów arytmetycznych, będą podobne, lecz wykonywane obliczenia będą inne.

  • Żeby sprawdzić, czy ciąg jest geometryczny, postępujemy podobnie jak w przypadku ciągu arytmetycznego. Tam badaliśmy, czy różnica pomiędzy kolejnymi wyrazami jest stała. W przypadku ciągu geometrycznego, którego iloraz jest różny od zera, wystarczy zbadać, czy iloraz an+1an jest stały dla każdej liczby całkowitej n1.

  • Dowolne trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego, w którym  a10an0, spełniają równość an+1an=anan-1, którą możemy zapisać w postaci

an2=an+1an-1

Dowolne trzy kolejne, różne od 0 wyrazy ciągu geometrycznego spełniają równość

an+1an=anan-1,

którą możemy zapisać w postaci an2=an+1an-1

RNEhIY81K53AP1
Animacja przedstawia punkty o współrzędnych (1, 1) i (2, 2), które są pierwszym i drugim wyrazem ciągu geometrycznego. Należy obliczyć iloraz tego ciągu. W kolejnym kroku należy przesunąć dwa dodatkowe punkty tak, aby utworzyły wykres tego ciągu.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
Własność ciągu geometrycznego
Własność: Własność ciągu geometrycznego

Ciąg an o wyrazach różnych od 0 jest ciągiem geometrycznym wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej liczby całkowitej n>1 (1<n<k, ciąg an jest k-wyrazowy) prawdziwa jest równość

an2=an+1an-1

Jeżeli wyrazy ciągu an są liczbami dodatnimi, to równość an2=an+1an-1 możemy zapisać w postaci an=an+1an-1.
Oznacza to, że wyraz an jest średnią geometryczną wyrazów sąsiednich.

Zauważmy, że jeżeli w ciągu an jest a10 oraz istnieją wyrazy równe 0 i wyrazy różne od 0, to z definicji wynika, że nie jest to ciąg geometryczny, mimo że może spełniać warunek an2=an+1an-1
Na przykład ciąg (2,0,0,3) spełnia warunki a22=a1a3 oraz a32=a2a4, lecz nie jest to ciąg geometryczny.

Przykład 2

Sprawdź, czy ciąg 2-1, 1, 2+1 jest ciągiem geometrycznym.
Ponieważ wszystkie wyrazy ciągu są różne od zera, więc możemy skorzystać z twierdzenia o własności ciągu geometrycznego. Wystarczy więc sprawdzić, czy a22=a1a3.
Iloczyn

a1a3=2-12+1=2-1=1=12=a22,

więc wnioskujemy, że ten ciąg jest geometryczny.

Przykład 3

W ciągu geometrycznym kolejne wyrazy mają postać

a1
a2=a1q
a3=a2q=a1qq=a1q2
a4=a3q=a1q2q=a1q3

i tak dalej.
Zauważmy, że każdy kolejny wyraz ciągu jest iloczynem wyrazu pierwszego oraz pewnej liczby czynników q. Czynników q jest o 1 mniej, niż wynosi numer wyrazu, który chcemy obliczyć, a więc wyraz an jest iloczynem wyrazu a1oraz n-1 czynników q . Zatem n-ty wyraz ciągu jest równy an=a1qn-1 .

Wzór ogólny ciągu geometrycznego
Twierdzenie: Wzór ogólny ciągu geometrycznego

Jeżeli a1 jest pierwszym wyrazem ciągu geometrycznego anq jest ilorazem tego ciągu, to dla dowolnej liczby całkowitej n>1 mamy an=a1qn-1 .

R1SAUaxChG9Gt1
Animacja przedstawia ciąg geometryczny. Zmieniając wartość pierwszego wyrazu ciągu i iloraz ciągu należy obserwować, jak zmienia się wykres ciągu o wzorze ogólnym a z indeksem dolny n = a z indeksem dolnym jeden razy q do potęgi n -1. Zauważamy, że gdy a z indeksem dolnym jeden >0 oraz q>0, to wyrazy ciągu leżą na krzywej o równaniu y = a z indeksem dolnym jeden razy q do potęgi x -1.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
iTDlAqaSFo_d5e294
Przykład 4

Oblicz ósmy wyraz ciągu geometrycznego, w którym a1=81 oraz q=-13.
Zastosujemy podany wcześniej wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego. Ósmy wyraz ciągu jest więc równy

a8=a1q7=81-137=-343-7=-3-3=-127
Przykład 5

Którym wyrazem ciągu geometrycznego (an), w którym a1=3 oraz q=5, jest liczba 1875?
Ze wzoru na n-ty wyraz ciągu geometrycznego mamy 35n-1=1875. Stąd otrzymujemy 5n-1=625=54. Zatem n-1=4, czyli n=5. Liczba 1875 jest więc piątym wyrazem ciągu (an).

Przykład 6

Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego (an) jest równy a1=1, a trzeci wyraz tego ciągu jest o 2 większy od drugiego wyrazu tego ciągu. Oblicz iloraz q tego ciągu.
Drugi i trzeci wyraz ciągu są równe a2=a1q, a3=a1q2. Ponieważ a1=1, to a2=1q=q oraz a3=1q2=q2. Wyrazy te różnią się o 2, czyli a3-a2=2, więc q2-q=2. Otrzymaliśmy równanie kwadratowe z niewiadomą q. Ma ono dwa rozwiązania q1=-1 oraz q2=2. Są więc dwa takie ciągi geometryczne o ilorazach q1=-1 oraz q2=2.

Przykład 7

Pomiędzy liczby 643 oraz 9 wstaw takie dwie liczby, żeby otrzymać czterowyrazowy ciąg geometryczny.
Liczba 9 jest czwartym, a liczba 643 pierwszym wyrazem ciągu geometrycznego. Stąd  9=643q3, gdzie q oznacza iloraz tego ciągu. Zatem q=34. Drugi wyraz tego ciągu jest więc równy x=643q=64334=16, a trzeci y=xq=1634=12.

Przykład 8

Oblicz pierwszy wyraz i iloraz ciągu geometrycznego (an), w którym a6+a5=540 oraz a6-a4=1296.
Korzystając ze wzoru na n-ty wyraz ciągu geometrycznego, kolejne wyrazy ciągu geometrycznego zapisujemy a3=a1q2, a4=a1q3, a5=a1q4, a6=a1q5. Równania dane w zadaniu zapisujemy więc w postaci układu równań

a1q5+a1q4=1944a1q5-a1q3=1296
a1q4q+1=1944a1q3q2-1=1296
a1q4q+1=1944a1q3q-1(q+1)=1296

Z pierwszego równania wynika, że a10, q0 oraz q+10. Gdyby tak nie było, równanie byłoby sprzeczne, gdyż po lewej stronie mielibyśmy 0, a po prawej 1944. Dzielimy więc stronami drugie równanie przez pierwsze. Wtedy otrzymujemy

a1q3q-1q+1a1q4q+1=12961944

czyli

q-1q=23

Stąd 3q-3=2q. Zatem q=3. Z równania a1q4q+1=1944q=3, otrzymujemy

a1=1944q4q+1=1944343+1=6

Ciąg geometryczny może być malejący, rosnący, stały, niemalejący, nierosnący albo w ogóle może nie być monotoniczny. Zależy to od wartości ilorazu oraz znaku pierwszego wyrazu. Na przykład ciąg geometryczny, w którym a1=4 oraz q=2, a więc ciąg (4,8,16,32,64,) jest rosnący, gdyż każdy kolejny wyraz ciągu jest dwa razy większy od poprzedniego i pierwszy wyraz jest dodatni.
Korzystając z poniższego apletu, zbadaj monotoniczność kilku ciągów geometrycznych.

Rro2pxTrhv1JY1
Animacja prezentuje w ośmiu krokach konstrukcję ciągu geometrycznego w układzie współrzędnych. Na osi OX układu współrzędnych wybrany jest punkt, którego odcięta jest pierwszym wyrazem a z indeksem dolnym jeden pewnego ciągu geometrycznego . Na osi OY wybrany jest punkt, którego rzędna jest wartością ilorazu q tego ciągu. Aby skonstruować kolejne wyrazy tego ciągu skorzystamy z zależności a z indeksem dolnym dwa dzielone przez a z indeksem dolnym jeden równa się q dzielone przez 1. Zależność ta sugeruje aby do konstrukcji a z indeksem dolnym dwa wykorzystać twierdzenie Talesa. Wystarczy na osi OY zaznaczyć punkt o rzędnej 1 i poprowadzić odcinek łączący ten punkt z punktem „a z indeksem dolnym jeden”. Wówczas prosta równoległa do tego odcinka przechodząca przez punkt „q” przetnie oś OX w punkcie, którego odcięta wynosi a z indeksem dolnym dwa. W celu utworzenia następnych wyrazów ciągu geometrycznego wykorzystujemy ten sam cykl czynności zastępując a z indeksem dolnym jeden wyrazem a z indeksem n -1. W kolejnych krokach należy obserwować, jak zachowują się wyrazy ciągu geometrycznego (położenie punktów), gdy zmienia się pierwszy wyraz ciągu lub wartość ilorazu q.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
iTDlAqaSFo_d5e390
A
Ćwiczenie 1
R1FRnNiM0lHH91
Zadanie interaktywne
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 2
RgkxJqDbtVfC21
E-podręczniki z matematyki
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 3

Sprawdź, czy podany ciąg jest geometryczny. Jeżeli jest, to znajdź jego iloraz.

  1. an=0,3n

  2. bn=2n7

  3. cn=3n+4

A
Ćwiczenie 4
R88sakJu1JiwP1
Zadanie interaktywne
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 5

Wyznacz wzór ogólny ciągu geometrycznego (an), w którym

  1. a1=10 oraz a6=516

  2. a3=12 oraz a6=1252

A
Ćwiczenie 6

Ustaw wyrazy w odpowiedniej kolejności, tak żeby utworzyły ciąg geometryczny, którego iloraz jest mniejszy od 1.

  1. 1254, 252, 5, 2, 45, 825, 16125

  2. 1283, 323,83,2,32,38

classicmobile
Ćwiczenie 7

Dane są dwa wyrazy ciągu geometrycznego a6=20, a8=80. Wtedy

R821Rni4w25Fr
A
Ćwiczenie 8

Liczby x-1, 2x+2, 6x+6 są kolejnymi wyrazami rosnącego ciągu geometrycznego. Wyznacz te liczby.

iTDlAqaSFo_d5e586
A
Ćwiczenie 9

Suma trzech wyrazów tworzących ciąg geometryczny jest równa -7, a ich iloczyn jest równy 27. Oblicz pierwszy wyraz i iloraz tego ciągu.

B
Ćwiczenie 10

Udowodnij, że jeśli (an) jest ciągiem geometrycznym, to dla każdej liczby całkowitej n1 prawdziwa jest równość anan+3=an+1an+2.

classicmobile
Ćwiczenie 11

W ciągu geometrycznym pierwszy wyraz jest równy 3, a iloraz 13. Dwudziesty wyraz tego ciągu można zapisać wzorem

RrS7nZSqRbcqr
static
classicmobile
Ćwiczenie 12

Piąty wyraz rosnącego ciągu geometrycznego jest równy 513, a siódmy 2113. Iloraz tego ciągu jest równy

R18CYb1eUlouG
static
classicmobile
Ćwiczenie 13

Który z ciągów jest geometryczny?

R13RJn8yKcowf
static
classicmobile
Ćwiczenie 14

W ciągu geometrycznym mamy a2=34 oraz a5=169. Wtedy

R1Ox0U5zXpEQk
static
A
Ćwiczenie 15

W ciągu geometrycznym dane są a1=3 oraz a4=192. Oblicz iloraz tego ciągu.

A
Ćwiczenie 16

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny (an), w którym a3=1 oraz a4=34. Wyznacz pierwszy wyraz tego ciągu.

A
Ćwiczenie 17

W ciągu geometrycznym (an) dane są wyrazy a4=4516 oraz a6=4054. Wyznacz wzór ogólny tego ciągu.

A
Ćwiczenie 18

Dany jest ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie a1=-3 oraz ilorazie q=-2. Którym wyrazem tego ciągu jest liczba 96?

A
Ćwiczenie 19

Stosunek sumy trzech pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego do sumy wyrazów pierwszego i trzeciego jest równy 35. Oblicz iloraz tego ciągu.

iTDlAqaSFo_d5e953
A
Ćwiczenie 20

Jaką liczbę trzeba dodać do każdej z liczb:-2, 2, 22, żeby otrzymane liczby były kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego?

A
Ćwiczenie 21
Ray6qveio0zil1
Zadanie interaktywne
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 22

Wykaż, że jeżeli an jest ciągiem geometrycznym o wyrazach różnych od zera, to każdy z ciągów bn cn określonych wzorami bn=2an oraz cn=a3n też jest geometryczny.

A
Ćwiczenie 23

Znajdź x, wiedząc, że

  1. ciąg 2, x, 98 jest geometryczny. Oblicz iloraz tego ciągu.

  2. ciąg 2+3,1+3,x jest geometryczny. Oblicz iloraz tego ciągu.

A
Ćwiczenie 24

Pomiędzy liczby 432 oraz 250 wstaw takie dwie liczby ab, żeby ciąg 432, a, b, 250 był geometryczny.

A
Ćwiczenie 25

Ciąg geometryczny składa się z ośmiu wyrazów. Suma pierwszych sześciu wyrazów jest równa 1, a suma sześciu ostatnich jest równa 16. Oblicz iloraz tego ciągu.

B
Ćwiczenie 26

Wyznacz pierwszy wyraz oraz iloraz ciągu geometrycznego (an), w którym a4+17a2=1 oraz a2+a4+a6=1.

B
Ćwiczenie 27

Wykaż, że suma kwadratów trzech kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego, które są liczbami całkowitymi różnymi od zera, jest podzielna przez sumę tych wyrazów.

B
Ćwiczenie 28

Wykaż, że liczby 5, 67 nie mogą być wyrazami tego samego ciągu geometrycznego.