Wydrukuj Zapisz jako PDF Dodaj do ulubionych Udostępnij materiał
ia7BnhauDm_d5e82

Suma wyrazów ciągu arytmetycznego

Przykład 1
RN8JQHqOsbePx1
Animacja ilustruje sumę S z indeksem dolnym n początkowych n wyrazów ciągu arytmetycznego a z indeksem dolnym n. Suma S z indeksem dolnym n początkowych n = ułamek w liczniku a z indeksem dolnym jeden plus a z indeksem dolnym n mianownik 2 koniec ułamka razy n.
Przykład 2

Podobną metodę możemy zastosować do zsumowania n początkowych wyrazów dowolnego ciągu arytmetycznego. Oznaczmy symbolem Sn sumę n początkowych wyrazów ciągu an, czyli Sn=a1+a2++an. Zapiszmy zatem sumę Sn dwukrotnie: raz składniki zapiszemy od pierwszego do ostatniego, drugi raz odwrotnie, czyli

Sn=a1+a2++an-1+an
Sn=an+an-1++a2+a1

Każdy wyraz ciągu an możemy zapisać w postaci an=a1+n-1r, więc

Sn= a1+a1+r++a1+n-2r+(a1+n-1r)Sn=a1+n-1r+a1+n-2r++a1+r+ a1

Zauważ, że w każdej kolumnie otrzymujemy sumę 2a1+n-1r, a to jest suma a1+an.
Ponieważ kolumn jest n, więc 2Sn=n2a1+n-1r =na1+an.
W ten sposób udowodniliśmy twierdzenie o sumie wyrazów ciągu arytmetycznego.

O sumie wyrazów ciągu arytmetycznego
Twierdzenie: O sumie wyrazów ciągu arytmetycznego

Suma Sn początkowych n wyrazów ciągu arytmetycznego an jest równa Sn=2a1+n-1r 2n=a1+an2n.

Przykład 3

Oblicz sumę 1+2+3+... +100.
Sumowane liczby tworzą ciąg arytmetyczny, w którym a1=1 oraz a100=100. Mamy więc

S100=1+1002100=5050
Przykład 4

Oblicz sumę stu początkowych liczb naturalnych, które podzielone przez 3 dają resztę 2.
Pierwszą liczbą naturalną, która podzielone przez 3 daje resztę 2 jest 2, drugą 5, trzecią 8. Liczby te tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy 3. Suma początkowych wyrazów tego ciągu jest równa

S100=2a1+99r2100=22+9932100=15050.
Przykład 5

Rozwiąż równanie 3+7+11++4n-1=595 z niewiadomą n.
Liczby, które sumujemy po lewej stronie równania, są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego o pierwszym wyrazie a1=3, różnicy r=4. Suma ta składa się z wyrazów. Ponieważ n jest liczbą wyrazów, więc jest liczbą całkowitą dodatnią. Ze wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego mamy

Sn=23+(n-1)42n=3n+2nn-1=2n2+n

Z treści zadania wynika, że

2n2+n=595

Otrzymaliśmy równanie kwadratowe 2n2+n-595=0, które ma dwa rozwiązania n1=-17,5 oraz n2=17. Tylko druga z liczb jest całkowita dodatnia. Zatem rozwiązaniem równania jest liczba 17.

Przykład 6

Liczby 9, 5, 1 są w podanej kolejności trzema początkowymi wyrazami ciągu arytmetycznego an. Oblicz sumę a10+a11+a12++a30.
Pierwszy wyraz ciągu an jest równy a1=9, a różnica ciągu jest równa r=a2-a1=5-9=-4.

  • sposób I

Zauważmy, że

a10+a11+a12++a30=a1+a2++a9+a10+a11+a12++a30-a1+a2++a9=S30-S9

Ponieważ

S30=2a1+29r230=18-11615=-1470

oraz

S9=2a1+8r29=18-3229=-63,

więc

a10+a11+a12++a30=-1470+63=-1407
  • sposób II

Możemy zauważyć, że wyrazy a10,a11,a12,,a30, które mamy zsumować, są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego (bn), który składa się z  21 wyrazów i w którym

b1=a10=a1+9r=-27

oraz

b21=a30=a1+29r=-107

Suma 21 początkowych wyrazów tego ciągu jest więc równa

S21=b1+b21221=-27-107221=-1407
ia7BnhauDm_d5e268
A
Ćwiczenie 1
ROaiRUfuhp6Jo1
Wykres składa się z punktów o współrzędnych (1, 10), (2, 8), (3, 6), (4, 4), (5, 2), (6, 0), (7, -2), (8, -4).
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 2

Suma kolejnych 100 liczb naturalnych jest równa 7250. Jakie to liczby?

classicmobile
Ćwiczenie 3

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

RG2hrDW4pGFJJ
A
Ćwiczenie 4

Oblicz sumę wszystkich liczb trzycyfrowych podzielnych przez 3.

A
Ćwiczenie 5

Długości kolejnych boków pewnego wielokąta tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy 5. Najdłuższy bok wielokąta ma długość 28, a obwód wielokąta jest równy 93. Ile boków ma ten wielokąt?

classicmobile
Ćwiczenie 6

Suma n początkowych wyrazów pewnego ciągu arytmetycznego (an) jest równa Sn=3n2-13n2 dla każdego n1. Wtedy

RrJdkbUMgP8kZ
A
Ćwiczenie 7

Różnica pewnego ciągu arytmetycznego jest równa 2, natomiast sumy n oraz n+2 jego początkowych wyrazów są równe Sn=176 oraz Sn+2=240. Oblicz n.

A
Ćwiczenie 8
R11zT1TW8cNPm1
Zadanie interaktywne
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
ia7BnhauDm_d5e496
classicmobile
Ćwiczenie 9

W ciągu arytmetycznym a1=5 oraz a30=9. Wtedy suma S30=a1+a2++a30 jest równa

RA2El9EvOwAlr
static
A
Ćwiczenie 10

Oblicz sumę wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, które podzielone przez 5 dają resztę 2.

A
Ćwiczenie 11

Oblicz sumę wszystkich trzycyfrowych liczb naturalnych.

A
Ćwiczenie 12

Dany jest ciąg arytmetyczny an, w którym a1=3 oraz r=4. Wyznacz największe n, dla którego Sn<80.

A
Ćwiczenie 13

W pewnym ciągu arytmetycznym a9=11 oraz a14=1 znajdź sumę początkowych dwudziestu jeden wyrazów tego ciągu.

A
Ćwiczenie 14

Oblicz sumę piętnastu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, którego wzór ogólny jest postaci an=2n-15.

A
Ćwiczenie 15

Suma piętnastu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa S15=135, a różnica tego ciągu jest równa r=3. Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego ciągu od wyrazu szesnastego do wyrazu trzydziestego.

A
Ćwiczenie 16

Ile liczb trzeba wstawić między liczby -13 oraz 8, aby otrzymać ciąg arytmetyczny, którego suma jest równa 25?

ia7BnhauDm_d5e717
A
Ćwiczenie 17

Wyznacz pierwszy wyraz i różnicę ciągu arytmetycznego, w którym sumy ośmiu i trzynastu początkowych wyrazów są równe S8=-223 , S13=612.

B
Ćwiczenie 18

Rozwiąż równanie 424446 42n=0,25-30

B
Ćwiczenie 19

Wykaż, że n+2n+3n++n2=n2(n+1)2.

B
Ćwiczenie 20

Wyznacz sumę dwudziestu pięciu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (an), wiedząc, że a8+a10+a16+a18=20.

B
Ćwiczenie 21

Wiedząc, że siódmy wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 0, oblicz sumę trzynastu pierwszych wyrazów tego ciągu.

A
Ćwiczenie 22

Wykaż, że 1002-992+982-972+962-952++42-32+22-12=5050.