Aktualności

Kształcenie na odległość

Programy nauczania i scenariusze zajęć do kształcenia ogólnego

Epodręczniki PO KL

Katalog Zasobów Dodatkowych

Wsparcie psychologiczno-pedagogiczne

Gra edukacyjna „Godność, wolność i niepodległość”


Wsparcie użytkownika

Filmy instruktażowe i instrukcje

Poradnik dla użytkownika

Najczęściej zadawane pytania wraz z odpowiedziami

Filmy instruktażowe i instrukcje
Dodaj do ulubionych Udostępnij materiał Wydrukuj

Wstęp

Liczby pierwszeLiczba pierwszaLiczby pierwsze były tematem rozważań uczonych już od wieków. Pierwsze wzmianki na temat liczb pierwszych i ich własności pojawiły się w dziele Euklidesa Elementy. W tym samym czasie inny grecki matematyk, Eratostenes, stworzył algorytm, który w prosty sposób pozwalał wyznaczać dowolnie wiele liczb pierwszych z danego przedziału [2, n]. Sposób ten zwany jest dzisiaj sitem EratostenesaSito Eratostenesasitem Eratostenesa.

Dlaczego warto zainteresować się liczbami pierwszymi? Dowiecie się tego z tej lekcji.

RSnY1Foan8qxR1
Źródło: Eduexpert Sp. z o.o. / Evaco Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.
Rgc7mS7uEad191
Źródło: Eduexpert Sp. z o.o. / Evaco Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.
Nauczysz się

poznasz liczby pierwsze i liczby złożone;

dokonasz rozkładu liczb złożonych na czynniki pierwsze.

1

Cele edukacyjne zgodne z etapem kształcenia

  1. rozpoznaje liczby pierwsze i liczby złożone;

  2. charakteryzuje rodzaje liczb pierwszych;

  3. stosuje metody znajdowania liczb pierwszych.

m99a40fe93e6bb24c_1502093859156_0

CZY LICZBY PIERWSZE ZDRADZĄ SWOJE TAJEMNICE? PO PIERWSZE LICZBY PIERWSZE – audiobook

Rozdziały:

  1. Ja ci pomogę

  2. O liczbach pierwszych słów kilka

  3. Świetnie! Wszystko wiecie!

  4. Podsumowanie

1
Notatka dla prowadzącego

Przed rozpoczęciem pracy z audiobookiem, możesz skorzystać z przygotowanego scenariusza lekcji, który pokazuje, jak włączyć materiały multimedialne w tok lekcji.

6,6
R1VqDAjuHdhlI

Pobierz załącznik

Scenariusz lekcji a
R1JOYdXoxCEWw

Pobierz załącznik

Scenariusz lekcji b
Wskazówka

Podczas odsłuchiwania audiobooka postaraj się zapamiętać, co to są liczby pierwszeLiczba pierwszaliczby pierwszeliczby złożone.Liczba złożonaliczby złożone.

RlaJtNxdC8qXt1
Na ekranie pokazany jest panel sterowania z aktywnymi klawiszami do odtwarzania zawartości audiobooka. W części górnej części znajdują się trzy klawisze. Pierwszy od lewej „Widok” umożliwia przełączenie między odtwarzaczem dźwiękowym audiobooka oznaczonym jako „Odtwarzacz” na liście wyboru a podglądem treści audiobooka oznaczonym jako „Tekst”. Odtwarzacz dźwiękowy oznaczony jako „Odtwarzacz” przedstawia żółty pasek, na którym podczas odtwarzania pojawia się tekst. Widok „Tekst” prezentuje pełny tekst pojawiający się w nagraniu. Widok „Dynamiczny” stanowi połączenie widoku „Odtwarzacz” i „Tekst". Klawisz środkowy „Książka” umożliwia nawigację po treści audiobooka. Klawisz trzeci od lewej „Więcej” – zawiera informacje o programie. Poniżej oddzielony linią znajduje się panel sterowania odtwarzacza nagrania. Poniżej panelu sterowania znajduje się żółty pasek, na którym w trakcie odtwarzania pokazywany jest tekst nagrania.
Źródło: Eduexpert Sp. z o.o. / Evaco Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.
Zobacz także

Czy liczby pierwsze zdradzą swoje tajemnice? 
Po pierwsze liczby pierwsze

Rozdział 1 
Ja Ci pomogę

Materiał przedstawia rozmowę brata i siostry o liczbach pierwszych i złożonych.

— Mamo, mamo! Nie rozumiem tego. Kasiu, gdzie jest mama?

— Poszła na zakupy. Może ja Ci pomogę?

— OK.

— Pokaż mi zeszyt. O, liczby pierwszeLiczba pierwszaliczby pierwszezłożoneLiczba złożonazłożone.

— Nic z tego nie rozumiem.

— Spokojnie. Zaraz ci wszystko wytłumaczę. Weźmy pod uwagę na przykład liczbę 2. Przez jakie liczby dzieli się dwa bez reszty?

— Przez zero, jeden i dwa…

— Pamiętaj, nigdy nie dzielimy przez 0.

— Czyli przez jeden i dwa?

— Tak. Liczba dwa jest liczbą pierwszą. Ma dwa dzielniki: 1 i siebie samą. Rozumiesz?

— Chyba tak.

— To podaj jeszcze jakieś przykłady liczb pierwszych.

— 3, 5, 7.

— Super! A teraz liczby złożone. To są liczby, które mają więcej niż dwa dzielniki: 1, siebie samą i przynajmniej jedną inną liczbę.

— Na przykład 4 i 8 to liczby złożone?

— Tak! Pamiętaj też, że liczby pierwsze i złożone są liczbami naturalnymi. Wiesz, co to są liczby naturalne?

— To liczby całkowite dodatnie oraz liczba zero.

— Super! Mądrego mam brata! Widzisz, matematyka nie jest taka trudna.

— A 0 i 1 są liczbami pierwszymi czy złożonymi?

— Nie są ani liczbami pierwszymi, ani złożonymi. Liczba jeden ma tylko jeden dzielnik, gdyż dzieli się tylko przez samą siebie. Zero ma nieskończenie wiele dzielników, gdyż jego dzielnikiem jest każda liczba naturalna dodatnia. A czy wiesz, dlaczego liczby pierwsze są takie ważne?

— Nie. Dlaczego?

— Liczby pierwsze mają ogromne znaczenie w kryptologii, czyli w dziedzinie wiedzy dotyczącej przekazywania informacji w sposób zabezpieczony. Sam wiesz, jak ważne jest to w dzisiejszych czasach.

— Tak wiem. To właśnie szyfrowanie z wykorzystaniem liczb pierwszych w naszych hasłach komputerowych, hasłach do kart kredytowych, zakupach w Internecie i w wielu innych miejscach powoduje, że możemy czuć się bezpiecznie.

Rozdział 2 
O liczbach pierwszych słów kilka

Materiał przedstawia w sposób zwarty dodatkowe informacje o liczbach pierwszych.

Największe liczby pierwsze

• Największa odkryta dotąd liczba pierwsza liczy 22 338 618 cyfr w zapisie dziesiętnym. Odkrył ją Curtis Cooper 7 stycznia 2016 roku. Pamiętajmy jednak, że w każdej chwili może zostać odkryta kolejna, większa liczba pierwsza.

• W czasach, gdy do odkrywania liczb pierwszych nie używano komputerów, a jedynie kalkulatory, największą – 44‑cyfrową liczbę pierwszą – odkrył Francuz Aimé Ferrier. Dokonał tego w roku 1951.

Rodzaje liczb pierwszych

• Liczby bliźniacze to dwie liczby pierwsze, których różnica jest równa 2. Na przykład: (3 i 5); (5 i 7); (59 i 61); (1619 i 1621).

• Liczby czworacze to liczby pierwsze mające postać: p, p+2, p+6, p+8. Na przykład: (5, 7, 11, 13) albo (821, 823, 827, 829).

• Liczby pierwsze lustrzane to pary liczb, z których jedna powstaje przez zapisanie cyfr dziesiętnych drugiej w odwrotnej kolejności. Na przykład: (13 i 31); (17 i 71).

• Liczby pierwsze palindromiczne to liczby, które nie zmieniają się, gdy ich cyfry dziesiętne zapiszemy w odwrotnej kolejności. Na przykład 101, 131.

Poszukiwanie liczb pierwszych

• Najbardziej znanym sposobem znajdowania liczb pierwszych jest tzw. Sito EratostenesaSito EratostenesaSito Eratostenesa. Jest to metoda kolejnego wysiewania liczb pierwszych spośród liczb naturalnych większych od 1. Z danego zakresu liczb wybieramy najmniejszą z nich, zaznaczamy ją a następnie zaznaczamy wszystkie jej wielokrotności i wykreślamy je.

• W dzisiejszych czasach do poszukiwania nowych liczb pierwszych wykorzystuje się przede wszystkim komputery. Każdy może rozpocząć poszukiwania. Wystarczy dołączyć do międzynarodowego programu GIMPS‑Great Internet Mersenne Prime Search.

Ile jest liczb pierwszych?

• Liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. Dowiódł tego Euklides, grecki matematyk, w IV w. p.n.e.

• Euklides wykazał, że dla dowolnie długiej listy kolejnych liczb pierwszych, po wymnożeniu liczb z tej listy i dodaniu 1, otrzymamy albo liczbę pierwszą spoza listy, albo liczbę złożoną, która rozkłada się na czynniki pierwsze spoza listy. Wobec tego lista nie może być pełna, musi być więc nieskończenie długa.

Hipoteza Goldbacha

• Hipoteza sformułowana ponad 250 lat temu przez pruskiego matematyka Christiana Goldbacha głosi, że każda liczba naturalna parzysta większa od 2 jest sumą dwóch liczb pierwszych. Przypuszczenie to, nie zostało dotąd udowodnione, ani też obalone, pomimo licznych prób oraz wysokich nagród finansowych ufundowanych za jego udowodnienie.

Rozdział 3 
Świetnie! Wszystko wiecie!

Materiał przedstawia fragment lekcji, w trakcie której nauczyciel odpytuje uczniów z rozkładu liczb na czynniki pierwsze i cech podzielności liczb naturalnych.

— Tomku, rozłóż proszę liczbę 6 oraz liczbę 18 na czynniki pierwsze.

— 6 = 2 × 3. 18 = 2 × 3 × 3.

— Bardzo dobrze! Marku, na czym polega rozkład liczby na czynniki pierwsze?

— To zapisywanie liczby złożonej w postaci iloczynu liczb pierwszych.

— Świetnie! Stawiam wam po plusie. Przypominam, że rozkład liczb złożonych na czynniki pierwsze przyda nam się przy określaniu największego wspólnego dzielnika (NWD) dwóch liczb naturalnych oraz najmniejszej wspólnej wielokrotności (NWW) dwóch lub więcej liczb naturalnych. A teraz cechy podzielności liczb naturalnych. Karolino, kiedy liczba jest podzielna przez 5?

— Jeśli cyfrą jedności tej liczby jest 0 lub 5.

— A przez 2?

— Jeśli cyfrą jedności tej liczby jest 0, 2, 4, 6 albo 8.

— Przez 9?

— Jeśli cyfrą jedności tej liczby jest 9.

— Na pewno? Zastanów się.

— Yyy… Nie! Jeśli suma cyfr jest podzielna przez 9.

— Właśnie tak. A kiedy liczba jest podzielna przez 3?

— Jeśli suma cyfr jest podzielna przez 3. A jeśli cyfrą jedności liczby naturalnej dodatniej jest 0 to liczba jest podzielna przez 10!

— Bardzo dobrze!

Rozdział 4 
Podsumowanie

Materiał podsumowuje audiobook. Przypomina czym są liczby pierwsze i złożone.

Liczby pierwsze to liczby naturalne, większe od 1, które dzielą się tylko przez 1 i samą siebie. Liczby złożone to liczby naturalne większe od 1, które mają więcej niż dwa dzielniki. Liczby 0 i 1 nie są ani liczbami pierwszymi, ani liczbami złożonymi. Liczby złożone możemy rozkładać na czynniki pierwsze.

Polecenie 1

Liczba 73 939 133 jest dla matematyków bardzo ciekawą liczbą. Poprzez kolejne obcinanie cyfr od prawej strony otrzymujemy kolejno liczby:

7 393 913

739 391

73 939

7 393

739

73

7

Jak myślisz, co wspólnego mają ze sobą te liczby? Oczywiście poza faktem, że kolejne powstają przez obcięcie jednej cyfry z prawej strony?

Polecenie 2

Odszukaj, wykorzystując Sito EratostenesaSito EratostenesaSito Eratostenesa, wszystkie liczby pierwszeLiczba pierwszaliczby pierwsze w zakresie [1, 100].

Polecenie 3

Czy znasz cechy podzielności liczb przez 4, 6, 8? Jeśli nie, wyszukaj odpowiednie informacje w Internecie. Napisz 5 dowolnych liczb co najmniej trzycyfrowych i sprawdź, które z nich dzielą się przez 4, 6 lub 8. Skorzystaj z odpowiednich cech podzielności.

m99a40fe93e6bb24c_1502093867461_0

Podsumowanie

Liczby pierwszeLiczba pierwszaLiczby pierwsze to liczby naturalne, większe od 1, które dzielą się tylko przez 1 i samą siebie.

Liczby złożoneLiczba złożonaLiczby złożone to liczby naturalne większe od 1, które mają więcej niż dwa dzielniki.

Liczby 0 i 1 nie są ani liczbami pierwszymi, ani liczbami złożonymi.

Znajdźcie w Internecie strony związane z poszukiwaniem i odkrywaniem liczb pierwszych. Może uda się Wam odnaleźć następną?

RexUvXiYGHO4t1
Źródło: Eduexpert Sp. z o.o. / Evaco Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.
Praca domowa
Polecenie 4.1

Zadanie 1.

Znajdź wszystkie liczby pierwsze należące do przedziału (1, 100).

Zadanie 2.

Odszukaj w Internecie program znajdujący liczby pierwsze i wyszukaj wśród nich pary: liczb pierwszych bliźniaczych, liczb pierwszych czworaczych, liczb pierwszych lustrzanych oraz liczb pierwszych palindromicznych. 

m99a40fe93e6bb24c_1503905579466_0

Zadania

Wskazówka

W przypadku braku możliwości rozwiązania zadania z klawiatury lub trudności z odczytem przez czytnik ekranu skorzystaj
z innej wersji zadania.

classicmobile
Ćwiczenie 1
R164ujx0BZxN61
Na ekranie pokazane jest w ramce Zadanie 1 zatytułowane: „Liczby pierwsze, liczby złożone...”. Pod tytułem podane jest polecenie, które brzmi: „Przyporządkuj podane liczby do odpowiedniej kategorii.”Poniżej polecenia znajdują się trzy ramki ułożone jedna nad drugą. W każdej z nich znajduje się napis określający różne rodzaje liczb. W górnej ramce „LICZBY PIERWSZE”, w środkowej „LICZBY ZŁOŻONE”, w dolnej ramce „INNE LICZBY”. Liczby, które należy przyporządkować i w stawić do odpowiedniej ramki znajdują się w dwunastu okienkach poniżej.W prawym dolnym rogu zadania umieszczony jest klawisz ”Sprawdź” służący sprawdzeniu poprawności wykonania zadania.
Źródło: Eduexpert Sp. z o.o. / Evaco Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.
static
Inna wersja zadania
R1L92MUvht2yU1
Ćwiczenie 2
Na ekranie pokazane jest w ramce Zadanie zatytułowane „Liczby pierwsze, liczby złożone...”. Pod tytułem podane jest polecenie, które brzmi: „Przyporządkuj podane liczby do odpowiedniej kategorii.”. Obok każdej liczby znajduje się pole, w którym jest napis „Wybierz odpowiedź” i strzałka w dół. Po kliknięciu w okienko rozwija się lista możliwych odpowiedzi. Należy wybrać prawidłową. W prawym dolnym rogu zadania umieszczony jest klawisz ”Sprawdź”, służący sprawdzeniu poprawności jego wykonania.
Źródło: Eduexpert Sp. z o.o. / Evaco Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.
classicmobile
Ćwiczenie 3
R1bEJAfmI8B4A1
Na ekranie pokazane jest w ramce Zadanie 2 zatytułowane „„Liczby pierwsze, liczby złożone...”. Pod tytułem podane jest polecenie, które brzmi: „Połącz w pary ”. Poniżej w dwóch kolumnach zostało umieszczonych szesnaście okienek z treścią ćwiczenia, po osiem w każdej kolumnie. W każdym okienku znajdują się różne informacje dotyczące cech liczb lub liczby. W ośmiu okienkach w lewej kolumnie umieszczone zostały różne liczby, w prawej kolumnie w ośmiu okienkach zapisane są informacje dotyczące cech liczb. Należy dopasować odpowiednie okienka do siebie. W prawym dolnym rogu zadania umieszczony jest klawisz ”Sprawdź” służący sprawdzeniu poprawności wykonania zadania.
Źródło: Eduexpert Sp. z o.o. / Evaco Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.
static
Inna wersja zadania
ReDOzcG8eQKpq1
Ćwiczenie 4
Na ekranie pokazane jest w ramce Zadanie zatytułowane „Liczby pierwsze, liczby złożone...”. Pod tytułem podane jest polecenie, które brzmi: „Wybierz właściwą odpowiedź.”. Na początku każdego zdania znajduje się pole, w którym jest napis „Wybierz odpowiedź” i strzałka w dół. Po kliknięciu w okienko rozwija się lista możliwych odpowiedzi. Należy wybrać prawidłową. W prawym dolnym rogu zadania umieszczony jest klawisz ”Sprawdź”, służący sprawdzeniu poprawności jego wykonania.
Źródło: Eduexpert Sp. z o.o. / Evaco Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.
classicmobile
Ćwiczenie 5
RpIYXtUFEeFF11
Na ekranie pokazane jest w ramce Zadanie 3 zatytułowane: „Liczby pierwsze, liczby złożone…” Poniżej znajduje się polecenie, które brzmi : „Oceń prawdziwość podanych informacji.”Poniżej w ośmiu wierszach umieszczono dziewięć informacji dotyczących cech liczb, których prawdziwość należy określić. Opcje wyboru „Prawda” i „Fałsz” znajdują się po prawej stronie każdego zdania. W prawym dolnym rogu zadania umieszczony jest klawisz ”Sprawdź” służący sprawdzeniu poprawności wykonania zadania.
Źródło: Eduexpert Sp. z o.o. / Evaco Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.
static
Inna wersja zadania
RyVYJa7CpB5sf1
Ćwiczenie 6
Na ekranie pokazane jest w ramce Zadanie 3 zatytułowane: „Liczby pierwsze, liczby złożone…” Poniżej znajduje się polecenie, które brzmi : „Oceń prawdziwość podanych informacji.”Poniżej w ośmiu wierszach umieszczono dziewięć informacji dotyczących cech liczb, których prawdziwość należy określić. Opcje wyboru „Prawda” i „Fałsz” znajdują się po prawej stronie każdego zdania. W prawym dolnym rogu zadania umieszczony jest klawisz ”Sprawdź” służący sprawdzeniu poprawności wykonania zadania.
Źródło: Eduexpert Sp. z o.o. / Evaco Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.
m99a40fe93e6bb24c_1502358147126_0

Słowniczek

Liczba pierwsza
Liczba pierwsza

to liczba naturalna, większa od 1, która dzieli się tylko przez 1 i przez samą siebie. 

Liczba złożona
Liczba złożona

to liczba naturalna, większa od 1, która ma więcej niż dwa dzielniki.

Sito Eratostenesa
Sito Eratostenesa

algorytm wyznaczania liczb pierwszych z zadanego przedziału [2, n] przypisywany Eratostenesowi z Cyreny.

m99a40fe93e6bb24c_1522759004116_0

Powrót do e–podręcznika

E‑podręcznik „Odkryj, zrozum, zastosuj...”

https://www.epodreczniki.pl/reader/c/128788/v/latest/t/student‑canon

1.9. Liczby pierwsze i liczby złożone

https://www.epodreczniki.pl/reader/c/128788/v/latest/t/student‑canon/m/ioVAGILVx2

1.10. Rozkładanie liczb na czynniki pierwsze

https://www.epodreczniki.pl/reader/c/128788/v/19/t/student‑canon/m/iNFMQFfPFH

RsAjQ5hA0OaLv1
Źródło: Eduexpert Sp. z o.o. / Evaco Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.
Zgłoś problem