Imię i nazwisko autora: Jacek Człapiński

Przedmiot: Matematyka

Temat zajęć: Wielokąty foremne.

Grupa docelowa: III etap edukacyjny, liceum, technikum, zakres rozszerzony

Podstawa programowa

VIII. Planimetria

Uczeń

3) rozpoznaje wielokąty foremne i korzysta z ich podstawowych własności;

4) korzysta z własności kątów i przekątnych w prostokątach, równoległobokach, rombach i trapezach

Kształtowane kompetencje kluczowe:

• kompetencje w zakresie rozumienia i tworzenia informacji;

• kompetencje matematyczne oraz kompetencje w zakresie nauk przyrodniczych, technologii i inżynierii;

• kompetencje cyfrowe;

• kompetencje osobiste, społeczne i w zakresie umiejętności uczenia się.

Cele operacyjne:

Uczeń:

• rozpoznaje i poprawnie nazywa n – kąty foremne

• stosuje podstawowe konstrukcje geometryczne do rozwiązywania problemów

• odkrywa algorytm konstrukcji wielokątów foremnych o podwojonej liczbie boków na podstawie danego n – kąta foremnego

• rozpoznaje liczby Fermata i bada, czy dane liczba jest liczbą Fermata

• bada, czy dany n – kąt foremny można skonstruować za pomocą cyrkla i linijki

Strategie i metody nauczania:

• konstruktywizm.

• dyskusja

• rozmowa nauczająca z wykorzystaniem ćwiczeń interaktywnych

Formy zajęć:

• praca indywidualna

• praca w grupach

• praca całego zespołu klasowego

Środki dydaktyczne:

• komputery z dostępem do Internetu w takiej liczbie, żeby każda grupa uczniów miała do dyspozycji komputer, najlepiej w pracownia komputerowa. Lekcję tę można przeprowadzić, mając do dyspozycji jeden komputer z rzutnikiem multimedialnym.

Przebieg lekcji

Faza wprowadzająca:

1. Uczniowie wspólnie zastanawiają się, z czym kojarzy im się frazeologizm „kwadratura koła”. Nauczyciel wspomina o trzech klasycznych problemach geometrycznych starożytnej Grecji.

2. Nauczyciel prosi o scharakteryzowanie pojęcia wielokąta foremnego.

3. Nauczyciel prosi uczniów o przypomnienie pojęcia liczby pierwszej i złożonej. Wprowadza pojęcie liczby Fermata i wspólnie z uczniami uzasadnia, że liczba 17 jest liczbą pierwszą Fermata. Prosi o zbadanie, czy liczby 3, 5, 7 są liczbami pierwszymi Fermata.

4. Nauczyciel podaje temat i cele zajęć, uczniowie ustalają kryteria sukcesu.

Faza realizacyjna:

1. Nauczyciel precyzuje pojęcie wielokąta foremnego. Uczniowie na przykładach pokazują, że nie każdy wielokąt, który ma równe boki jest foremny. Uczniowie dyskutują, czy równość kątów jest wystarczająca dla stwierdzenia, czy dany wielokąt jest foremny.

2. Uczniowie mają za zadanie odkryć zależność między długością boku wielokąta i długościami promieni okręgów opisanego i wpisanego w ten wielokąt. W tym celu nauczyciel rysuje trójkąt równoboczny lub kwadrat oraz okręgi opisany i wpisany w wybrany wielokąt. Następnie oznacza literami R i r promienie tych okręgów. Uczniowie zapisują zależność, a następnie uogólniają zastosowany model rozwiązania na przypadek ogólny i formułują twierdzenie.

3. Uczniowie, pracując w grupach, zastanawiają się nad konstrukcją ośmiokąta foremnego, gdy dany jest kwadrat wpisany w okrąg. Znaleziony algorytm stosują do konstrukcji wielokąta, którego liczba boków da się opisać wzorem $n=2^m$, gdzie m jest liczbą naturalną nie mniejszą niż 2.

4. Uczniowie, pracując w grupach, wykorzystują aplet geogebry Konstrukcje wielokątów foremnych. Nauczyciel steruje pracą w parach, tak by w trakcie wykonywania ćwiczeń z użyciem apletu samodzielnie sformułowali opis konstrukcji, który będzie możliwy do wykorzystania przez innych. Ważne jest, by w omawianych konstrukcjach dostrzec możliwość wnioskowania o innych wielokątach, niż te których bezpośrednio dotyczy aplet (np. konstrukcja trójkąta równobocznego, mając dany sześciokąt foremny, czy kwadratu, mając dany ośmiokąt, itd.).

5. Uczniowie realizując polecenie opisane w Przykładzie 2. doskonalą umiejętność pracy z tekstem matematycznym i intuicję geometryczną dotyczącą obiektów symetrycznych względem prostej.

6. Uczniowie wykonują zaproponowane ćwiczenia interaktywne.

Faza podsumowująca:

1. Nauczyciel prosi wybranych uczniów o przedstawienie najważniejszych elementów, jakie były omawiane w trakcie lekcji.

2. Nauczyciel wskazuje, że często rozwiązanie problemu, który pozornie nie jest związany z geometrią, daje się opisać prostym modelem geometrycznym i odwrotnie.

Praca domowa

Nauczyciel poleca uczniom wykonać te ćwiczenia interaktywne, które nie zostały wykonane podczas lekcji.

Materiały pomocnicze:

Symetralna odcinkaDWBctl6fVSymetralna odcinka

Wskazówki metodyczne opisujące różne zastosowania multimedium:

Aplet geogebry Konstrukcje wielokątów foremnych można użyć do przypomnienia konstrukcji symetralnej.