Autor: Justyna Cybulska

Przedmiot: Matematyka

Temat: Dowodzenie twierdzeń z teorii podzielności

Grupa docelowa:

III etap edukacyjny, liceum, technikum, zakres rozszerzony

Podstawa programowa:

I. Liczby rzeczywiste. Zakres podstawowy.

Uczeń:

2) przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia nie trudniejsze niż:

a) dowód podzielności przez $24$ iloczynu czterech kolejnych liczb naturalnych,

b) dowód własności: jeśli liczba przy dzieleniu przez $5$ daje resztę $3$, to jej trzecia potęga przy dzieleniu przez $5$ daje resztę $2$.

II. Wyrażenia algebraiczne. Zakres podstawowy.

Uczeń:

1) stosuje wzory skróconego mnożenia na: ${\left(a+b\right)}^2$, ${\left(a-b\right)}^2$, $a^2-b^2$, ${\left(a+b\right)}^3$, ${\left(a-b\right)}^3$, $a^3-b^3$, $a^n-b^n$;

2) dodaje, odejmuje i mnoży wielomiany jednej i wielu zmiennych;

3) wyłącza poza nawias jednomian z sumy algebraicznej.

Kształtowane kompetencje kluczowe:

• kompetencje w zakresie rozumienia i tworzenia informacji

• kompetencje matematyczne oraz kompetencje w zakresie nauk przyrodniczych, technologii i inżynierii

• kompetencje cyfrowe

• kompetencje osobiste, społeczne i w zakresie umiejętności uczenia się

Cele operacyjne:

Uczeń:

• udowadnia niektóre własności związane z podzielnością liczb naturalnych

• przekształca równoważnie wyrażenia algebraiczne, grupując wyrazy, wyłączając wspólny czynnik przed nawias

• stosuje wzory skróconego mnożenia, przekształcając wyrażenia algebraiczne

• stawia hipotezy i udowadnia je na drodze rozumowań wymagających stosowania nieszablonowych strategii

• wykorzystuje kompleksową wiedzę z teorii liczb, udowadniając twierdzenia z teorii podzielności

Strategie nauczania:

• konstruktywizm

Metody i techniki nauczania:

• kłębek

• studium przypadku

Formy pracy:

• praca w grupach

• praca całego zespołu klasowego

Środki dydaktyczne:

• komputery z dostępem do Internetu w takiej liczbie, żeby każdy uczeń miał do dyspozycji komputer

• kłębek sznurka

Przebieg lekcji

Faza wstępna:

1. Nauczyciel podaje temat i cele zajęć, uczniowie ustalają kryteria sukcesu.

2. Uczniowie stoją w kręgu i rzucają do siebie kłębek  sznurka. Uczeń, który złapie kłębek musi podać jedną informację dotycząca podzielności liczb naturalnych, która może przydać się na lekcji. Uczeń, który odrzuca kłębek, zatrzymuje w dłoni kawałek sznurka. W ten sposób tworzy się sieć pajęcza, z której po wyczerpaniu informacji, uczniowie muszą się wyplątać – czym większa sieć, tym informacji było więcej.

Faza realizacyjna:

1. Uczniowie pracują w grupach metodą analizy przypadku. Zapoznają się z materiałem z sekcji „Przeczytaj” i z animacjami. Następnie wybierają jeden z analizowanych przypadków i układają oraz rozwiązują analogiczne zadanie.

2. Po zakończeniu tego etapu pracy, każda grupa prezentuje swoje zadanie na tablicy w formie twierdzenia i dowodu, uzasadniając przy tym wybór typu zadania.

Faza podsumowująca:

1. Wskazany przez nauczyciela uczeń przedstawia krótko najważniejsze elementy zajęć, poznane wiadomości, ukształtowane umiejętności.
   Liderzy grup przedstawiają refleksje na temat pracy grup, zaangażowania uczniów, problemów i ciekawych pomysłów.

2. Nauczyciel podsumowuje przebieg zajęć, wskazuje mocne i słabe strony pracy uczniów, ocenia pracę grup.

Praca domowa:

Zadaniem uczniów jest wykonanie ćwiczeń interaktywnych.

Materiały pomocnicze:

Dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych

Wskazówki metodyczne:

Animacje można wykorzystać na zajęciach pokazujących zastosowanie wzorów skróconego mnożenia lub w czasie zajęć poświęconych metodom dowodzenia twierdzeń.