Autor: Jacek Człapiński

Temat: Zastosowanie twierdzenia sinusów do obliczania miar kątów w wielokątach

Grupa docelowa:

III etap edukacyjny, liceum, technikum, zakres rozszerzony, klasa II lub III

Podstawa programowa:

VII. Trygonometria PP

2) znajduje przybliżone wartości funkcji trygonometrycznych, korzystając z tablic lub kalkulatora;

5) stosuje twierdzenia sinusów i cosinusów oraz wzór na pole trójkąta $P_{\Delta }=\frac{1}{2}ab·\sin \gamma$;

6) oblicza kąty trójkąta i długości jego boków przy odpowiednich danych (rozwiązuje trójkąty)

VII. Trygonometria PR

5) korzysta z wzorów na sinus, cosinus i tangens sumy i różnicy kątów, a także na funkcje trygonometryczne kątów podwojonych

Kształtowane kompetencje kluczowe:

• kompetencje w zakresie rozumienia i tworzenia informacji;

• kompetencje matematyczne oraz kompetencje w zakresie nauk przyrodniczych, technologii i inżynierii

• kompetencje cyfrowe

• kompetencje osobiste, społeczne i w zakresie umiejętności uczenia się

Cele operacyjne:

Uczeń:

• bada zależności między bokami i kątami w trójkącie i formułuje hipotezy dotyczące tych zależności

• stosuje twierdzenie sinusów do wyznaczania zależności miarowych w trójkącie

Strategie nauczania:

• konstruktywizm

• konektywizm

Metody i techniki nauczania:

• dyskusja

• rozmowa nauczająca z wykorzystaniem ćwiczeń interaktywnych

Formy pracy:

• praca indywidualna

• praca w grupach

• praca całego zespołu

Środki dydaktyczne:

• komputery z dostępem do internetu,

• projektor multimedialny,

Przebieg lekcji

Faza wstępna:

• Nauczyciel pyta uczniów, czy spotkali się z pojęciem rozwiązywania trójkątów. Prowadzi rozmowę, co należy rozumieć pod tym pojęciem. Wspomina o różnych twierdzeniach, które mogą być użyteczne i wyjaśnia, że na lekcji będzie się korzystać tylko z twierdzeń Pitagorasa i Snelliusa i z funkcji trygonometrycznych.

• Nauczyciel prosi uczniów o przypomnienie twierdzenia sinusów i cech przystawania trójkątów.

• Nauczyciel podaje temat i cele zajęć, uczniowie ustalają kryteria sukcesu.

Faza realizacyjna:

1.Nauczyciel formułuje problem opisany w Przykładzie 1. i prosi o zaproponowanie  strategii jego rozwiązania. Uczniowie pod kierunkiem nauczyciela budują układ równań i poznają sposoby jego rozwiązania.

2. Uczniowie, pracując w parach, wykorzystują Infografikę Obliczanie miar kątów z zastosowaniem twierdzenia sinusów i wykonują polecenia do niej dołączone. Nauczyciel informuje, że metody wykorzystujące twierdzenie Carnota okażą się niebawem jednym z podstawowych narzędzi w rozwiązywaniu trójkątów, ale na razie doskonali się umiejętność wykorzystania przede wszystkim twierdzenia sinusów i reguł poznanych wcześniej.

3. Nauczyciel formułuje problemy podane w kolejnych przykładach. Wskazane jest, by uczniowie mieli czas na samodzielne rozwiązanie Problemu 2. Następnie nauczyciel prosi, by uczniowie omówili metodę rozwiązania. Jeśli są tacy, którzy zbudowali układ równań, to warto, by takie rozwiązanie pojawiło się na tablicy. Obok warto zapisać rozwiązanie z wykorzystaniem twierdzenia sinusów. Następnie nauczyciel prosi uczniów o krótką ocenę obu rozwiązań.  Rozwiązując zadanie opisane w Przykładzie 3. Trzeba zbudować model (rysunek) danej sytuacji problemowej. Ważne, by to uczniowie byli autorami takiego modelu i by to oni wskazali strategię rozwiązania.

4. Uczniowie wykonują zaproponowane ćwiczenia interaktywne, wykorzystując umiejętności z różnych działów matematyki.

Faza podsumowująca:

• Nauczyciel prosi wybranych uczniów o przedstawienie najważniejszych elementów, jakie były omawiane w trakcie lekcji.

  Nauczyciel inicjuje dyskusję - czy twierdzenie sinusów jest narzędziem, które pozwala rozwiązać każdy trójkąt, by w ten sposób nawiązać do twierdzenia cosinusów, które winno być wprowadzone niebawem.

Praca domowa:

• Nauczyciel poleca, aby uczniowie wykonali w domu ćwiczenia interaktywne, które nie zostały wykonane w czasie zajęć.

Materiały pomocnicze:

• Cechy podobieństwa trójkątówD6QhoxTeICechy podobieństwa trójkątów

Wskazówki metodyczne:

Infografikę można wykorzystać powtarzając materiał związany z rozwiązywaniem trójkątów.