Autor: Katarzyna Podfigurna

Przedmiot: Matematyka

Temat: Okręgi styczne wewnętrznie na płaszczyźnie kartezjańskiej

Grupa docelowa:

III etap edukacyjny, liceum ogólnokształcące, technikum, zakres rozszerzony

Podstawa programowa:

Zakres podstawowy:

VIII. Planimetria

Uczeń:
1) wyznacza promienie i średnice okręgów, długości cięciw okręgów oraz odcinków stycznych, w tym z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa;

IX. Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Uczeń:
1) rozpoznaje wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie na podstawie ich równań, w tym znajduje wspólny punkt dwóch prostych, jeśli taki istnieje;
2) posługuje się równaniami prostych na płaszczyźnie, w postaci kierunkowej i ogólnej, w tym wyznacza równanie prostej o zadanych własnościach (takich jak na przykład przechodzenie przez dwa dane punkty, znany współczynnik kierunkowy, równoległość lub prostopadłość do innej prostej, styczność do okręgu);
3) oblicza odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych;
4) posługuje się równaniem okręgu ${\left(x-a\right)}^2+{\left(x-b\right)}^2=r^2$.

Zakres rozszerzony:

IX. Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Uczeń:
1) stosuje równanie okręgu w postaci ogólnej;
2) znajduje punkty wspólne dwóch okręgów.

Kształtowane kompetencje kluczowe:

• kompetencje w zakresie rozumienia i tworzenia informacji;

• kompetencje matematyczne oraz kompetencje w zakresie nauk przyrodniczych, technologii i inżynierii;

• kompetencje cyfrowe;

• kompetencje osobiste, społeczne i w zakresie umiejętności uczenia się.

Cele operacyjne:

Uczeń:

• zna warunek konieczny i wystarczający styczności wewnętrznej dwóch okręgów;

• wykazuje styczność wewnętrzną dwóch okręgów;

• planuje czynności mające doprowadzić do wyznaczenia współrzędnych punktu styczności dwóch okręgów;

• wykorzystuje warunek konieczny i wystarczający styczności wewnętrznej dwóch okręgów w rozwiązaniach zadań;

• kształci umiejętność stosowania metod geometrii analitycznej;

• z zaangażowaniem rozwiązuje zadania, posługując się poznanymi twierdzeniami i definicjami;

• analizuje zadania oraz dokonuje wyboru najefektywniejszej metody prowadzącej do ich rozwiązania.

Strategie nauczania:

• konstruktywizm,

• konektywizm.

Metody i techniki nauczania:

• burza mózgów;

• rozmowa nauczająca z wykorzystaniem animacji i ćwiczeń interaktywnych;

• pokaz multimedialny;

• rozwiązywanie zadań pod kontrolą nauczyciela.

Formy pracy:

• praca indywidualna,

• praca w grupach,

• praca całego zespołu.

Środki dydaktyczne:

• komputery z dostępem do Internetu,

• projektor multimedialny,

• e‑podręcznik,

• arkusze papieru, pisaki

Przebieg lekcji

Faza wstępna:

1. Uczniowie przypominają równanie okręgu;

2. Uczniowie określają, jak mogą być położone dwa okręgi;

3. Nauczyciel podaje temat i cele zajęć.

Faza realizacyjna:

1. Metodą „burzy mózgów” uczniowie podają warunek, jaki musi być spełniony, aby okręgi były styczne wewnętrznie;

2. Warunek konieczny i wystarczający zostaje zapisany na tablicy przez chętnego ucznia;

3. Nauczyciel prezentuje animację;

4. Na forum całej klasy uczniowie omawiają rozwiązania zadań przedstawionych w animacji;

5. Uczniowie, w parach, rozwiązują zadania znajdujące się pod animacją;

6. Chętni uczniowie podają rozwiązania, zapisując je na tablicy;

7. Nauczyciel zwraca uwagę na poprawność zapisu i jego estetykę, wyjaśnia niezrozumiałe dla uczniów elementy;

8. Nauczyciel prosi uczniów o rozwiązanie wskazanych ćwiczeń interaktywnych;

9. Uczniowie indywidualnie rozwiązują wskazane przez nauczyciela ćwiczenia interaktywne.

Faza podsumowująca:

1. Chętni uczniowie prezentują rozwiązania ćwiczeń interaktywnych;

2. Uczniowie formułują warunek konieczny i wystarczający styczności wewnętrznej dwóch okręgów;

3. Uczniowie określają, co było dla nich trudne lub niezrozumiałe a nauczyciel udziela wyjaśnień;

4. Nauczyciel omawia przebieg zajęć, wskazuje mocne i słabe strony pracy uczniów, ocenia aktywność uczniów.

Praca domowa:

1. Zadaniem uczniów jest rozwiązanie ćwiczeń interaktywnych, które nie zostały rozwiązane na lekcji.

Materiały pomocnicze:

Wzajemne położenie dwóch okręgówP1E2k50eXWzajemne położenie dwóch okręgów
ZadaniaD7IciMPyZZadania

Wskazówki metodyczne:

Animacja może być inspiracją do przygotowania konstrukcji okręgów stycznych wewnętrznie, gdy dane są promienie obu okręgów.