Autor: Katarzyna Podfigurna

Przedmiot: Matematyka

Temat: Okręgi styczne zewnętrznie na płaszczyźnie kartezjańskiej

Grupa docelowa:

III etap edukacyjny, liceum ogólnokształcące, technikum, zakres rozszerzony

Podstawa programowa:

VIII. Planimetria.

Zakres podstawowy. Uczeń:

1) wyznacza promienie i średnice okręgów, długości cięciw okręgów oraz odcinków stycznych, w tym z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa.

IX. Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej.

Zakres podstawowy. Uczeń:

1) rozpoznaje wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie na podstawie ich równań, w tym znajduje wspólny punkt dwóch prostych, jeśli taki istnieje;

2) posługuje się równaniami prostych na płaszczyźnie, w postaci kierunkowej i ogólnej, w tym wyznacza równanie prostej o zadanych własnościach (takich jak na przykład przechodzenie przez dwa dane punkty, znany współczynnik kierunkowy, równoległość lub prostopadłość do innej prostej, styczność do okręgu;

3) oblicza odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych;

4) posługuje się równaniem okręgu ${\left(x-a\right)}^2+{\left(x-b\right)}^2=r^2$.

Zakres rozszerzony. Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto:

1) stosuje równanie okręgu w postaci ogólnej;

2) znajduje punkty wspólne dwóch okręgów.

Kształtowane kompetencje kluczowe:

• kompetencje w zakresie rozumienia i tworzenia informacji

• kompetencje matematyczne oraz kompetencje w zakresie nauk przyrodniczych, technologii i inżynierii

• kompetencje cyfrowe

• kompetencje osobiste, społeczne i w zakresie umiejętności uczenia się

Cele operacyjne:

Uczeń:

• zna warunek konieczny i wystarczający styczności zewnętrznej dwóch okręgów

• wykazuje styczność zewnętrzną dwóch okręgów

• planuje czynności mające doprowadzić do wyznaczenia współrzędnych punktu styczności dwóch okręgów

• wykorzystuje warunek konieczny i wystarczający styczności zewnętrznej dwóch okręgów w rozwiązaniach zadań

• kształci umiejętność stosowania metod geometrii analitycznej

• z zaangażowaniem rozwiązuje zadania posługując się poznanymi twierdzeniami i definicjami

• analizuje zadania oraz dokonuje wyboru najefektywniejszej metody prowadzącej do ich rozwiązania

Strategie nauczania:

• konstruktywizm

• konektywizm

Metody i techniki nauczania:

• burza mózgów

• rozmowa nauczająca z wykorzystaniem animacji i ćwiczeń interaktywnych

• pokaz multimedialny

• rozwiązywanie zadań pod kontrolą nauczyciela

Formy pracy:

• praca indywidualna

• praca w grupach

• praca całego zespołu klasowego

Środki dydaktyczne:

• komputery z dostępem do Internetu

• tablica interaktywna/rzutnik multimedialny

• e–podręcznik

Przebieg lekcji

Faza wstępna:

1. Uczniowie przypominają równanie okręgu.

2. Uczniowie podają warunek styczności wewnętrznej dwóch okręgów.

3. Nauczyciel podaje temat i cele zajęć.

Faza realizacyjna:

1. Metodą „burzy mózgów” uczniowie podają warunek jaki musi być spełniony, aby okręgi były styczne zewnętrznie.

2. Warunek konieczny i wystarczający zostaje zapisany na tablicy przez chętnego ucznia.

3. Nauczyciel prezentuje animację.

4. Na forum całej klasy uczniowie omawiają rozwiązania zadań przedstawionych w animacji.

5. Uczniowie, w parach, rozwiązują zadania znajdujące się pod animacją.

6. Chętni uczniowie, podają rozwiązania zapisując je na tablicy.

7. Nauczyciel zwraca uwagę na poprawność zapisu i jego estetykę, wyjaśnia niezrozumiałe dla uczniów elementy.

8. Nauczyciel prosi uczniów aby zapoznali się z przykładem 4. zawartym w sekcji „Przeczytaj”.

9. Uczniowie na forum całej klasy omawiają rozwiązanie wskazując na zastosowane twierdzenia Pitagorasa i Talesa.

10. Nauczyciel prosi uczniów aby zapoznali się z przykładem 5. zawartym w sekcji „Przeczytaj”.

11. Uczniowie na forum całej klasy omawiają rozwiązanie wskazując na zastosowanie warunku styczności okręgu do prostej.

12. Nauczyciel prosi uczniów o rozwiązanie wskazanych ćwiczeń interaktywnych.

13. Uczniowie indywidualnie rozwiązują wskazane przez nauczyciela ćwiczenia interaktywne.

Faza podsumowująca:

1. Chętni uczniowie prezentują rozwiązania ćwiczeń interaktywnych.

2. Uczniowie formułują warunek konieczny i wystarczający styczności wewnętrznej dwóch okręgów.

3. Uczniowie określają co było dla nich trudne lub niezrozumiałe a nauczyciel udziela wyjaśnień.

4. Nauczyciel omawia przebieg zajęć, wskazuje mocne i słabe strony pracy uczniów, ocenia aktywność uczniów.

Praca domowa:

Zadaniem uczniów jest rozwiązanie ćwiczeń interaktywnych, które nie zostały rozwiązane na lekcji.

Materiały pomocnicze:

• Wzajemne położenie dwóch okręgówP1E2k50eXWzajemne położenie dwóch okręgów

• ZadaniaD7IciMPyZZadania

Wskazówki metodyczne:

Nauczyciel może poprosić uczniów aby zapoznali się, przed lekcją, z animacją, usprawni to pracę na lekcji.