Autor: Magdalena Wojciechowska‑Rysiawa

Przedmiot: Matematyka

Temat: Twierdzenie Eulera dla wielościanów

Grupa docelowa:

III etap edukacyjny, liceum lub technikum, zakres rozszerzony

Podstawa programowa:

X. Stereometria. Zakres podstawowy.

Uczeń:

1) rozpoznaje wzajemne położenie prostych w przestrzeni, w szczególności proste prostopadłe nieprzecinające się.

Kształtowane kompetencje kluczowe:

• kompetencje w zakresie rozumienia i tworzenia informacji

• kompetencje matematyczne oraz kompetencje w zakresie nauk przyrodniczych, technologii i inżynierii

• kompetencje cyfrowe

• kompetencje osobiste, społeczne i w zakresie umiejętności uczenia się

Cele operacyjne:

Uczeń:

• podaje treść twierdzenia Eulera dla wielościanów wypukłych

• stosuje twierdzenie Eulera dla wielościanów wypukłych do obliczania liczby wierzchołków, krawędzi i ścian

• stosuje twierdzenie Eulera dla graniastosłupów i ostrosłupów

• sprawdza, czy wielościan jest wypukły

• sprawdza, czy wielościan, który nie jest wypukły spełnia równość Eulera

• analizuje związki między liczbą poszczególnych elementów w wielościanie

Strategie nauczania:

• konstruktywizm

Metody i techniki nauczania:

• burza mózgów

• rozmowa nauczająca

• dyskusja

• ćwiczeniowa

Formy pracy:

• praca z całą klasą

• praca w grupach

• praca indywidualna

Środki dydaktyczne:

• komputer z dostępem do Internetu, głośników i tablicy interaktywnej lub projektora

• materiały zawarte w e–podręczniku

• modele wielościanów

Przebieg lekcji

Faza wstępna:

1. Nauczyciel prosi uczniów o przeanalizowanie liczby wierzchołków, krawędzi i ścian w graniastosłupach i ostrosłupach w zależności od podstawy.

2. Uczniowie metodą burzy mózgów ustalają związki pomiędzy liczbą elementów w graniastosłupach i ostrosłupach.

3. Nauczyciel przedstawia uczniom definicję wielościanu i wielościanu wypukłego.

4. Nauczyciel pokazuje uczniom modele wielościanów, prosi o analizę wielościanów z ćwiczenia 1 z sekcji „Sprawdź się”.

5. Nauczyciel mówi, że jest zależność między liczbą wierzchołków, krawędzi i ścian w wielościanach wypukłych, formułuje pytanie kluczowe i kryteria sukcesu.

Faza realizacyjna:

1. Nauczyciel wraz z uczniami prowadzi dyskusję nad liczbą krawędzi, wierzchołków i ścian w wielościanach posiłkując się uwagami i wnioskami w sekcji „Przeczytaj”.

2. Nauczyciel formułuje twierdzenie Eulera dla wielościanów wypukłych i pokazuje jego dowód z sekcji „Animacja 3D”.

3. Uczniowie wykonują polecenia w sekcji „Animacja 3D”.

4. Nauczyciel dzieli uczniów na grupy. Grupy wykonują ćwiczenia 2–6 z sekcji „Sprawdź się”.

5. Wybrani uczniowie z każdej z grup prezentują odpowiedzi wraz z uzasadnieniem.

6. Nauczyciel prezentuje odpowiedzi. Uczniowie dyskutują nad otrzymanymi wynikami – jeśli pojawiły się błędy dokonują analizy, co jest ich przyczyną.

7. Uczniowie próbują samodzielnie wykonać ćwiczenia 7 i 8.

8. Wybrani uczniowie prezentują rozwiązanie na tablicy.

Faza podsumowująca:

1. Uczniowie uzasadniają w parach prawdziwość równości Eulera dla graniastosłupów i ostrosłupów.

2. Nauczyciel zadaje kilka pytań kontrolnych:

   • O czym mówi twierdzenie Eulera?

   • Czy jeśli wielomian nie jest wypukły, to nie spełnia równości Eulera?

   • Ile krawędzi, wierzchołków, ścian ma graniastosłup dwudziestokątny? Itp.

3. Uczniowie dokonują samooceny.

Praca domowa:

Uczniowie opisują liczbę wierzchołków, ścian i krawędzi dla wielościanów platońskich i archimedesowych, które nie pojawiły się na lekcji.

Materiały pomocnicze:

• Siatki i modele brył

• Graniastosłup – opis

Wskazówki metodyczne:

Animacja 3D może stanowić uzupełnienie tematu dotyczącego elementów w graniastosłupie lub ostrosłupie.