Autor: Jacek Człapiński

Temat: Zastosowanie twierdzenia sinusów do obliczania pola trójkąta

Grupa docelowa:

III etap edukacyjny, liceum, technikum, zakres rozszerzony

Podstawa programowa:

VII. Trygonometria PP

2) znajduje przybliżone wartości funkcji trygonometrycznych, korzystając z tablic lub kalkulatora;

5) stosuje twierdzenia sinusów i cosinusów oraz wzór na pole trójkąta $P_{\Delta }=\frac{1}{2}ab·\sin \gamma$;

6) oblicza kąty trójkąta i długości jego boków przy odpowiednich danych (rozwiązuje trójkąty)

VII. Trygonometria PR

5) korzysta z wzorów na sinus, cosinus i tangens sumy i różnicy kątów, a także na funkcje trygonometryczne kątów podwojonych

Kształtowane kompetencje kluczowe:

• kompetencje w zakresie rozumienia i tworzenia informacji;

• kompetencje matematyczne oraz kompetencje w zakresie nauk przyrodniczych, technologii i inżynierii

• kompetencje cyfrowe

• kompetencje osobiste, społeczne i w zakresie umiejętności uczenia się

Cele operacyjne:

Uczeń:

• stosuje zależności między bokami i kątami w trójkącie

• stosuje twierdzenie sinusów do wyznaczania zależności miarowych w trójkącie

• korzysta z wartości dokładnych i przybliżonych funkcji trygonometrycznych

• wykorzystuje wzory na pole trójkąta

• buduje strategie rozwiązywania złożonych problemów

Strategie nauczania:

• konstruktywizm

• konektywizm

Metody i techniki nauczania:

• dyskusja

• rozmowa nauczająca z wylkorzystaniem ćwiczeń interaktywnych

Formy pracy:

• praca indywidualna

• praca w grupach

• praca całego zespołu

Środki dydaktyczne:

• komputery z dostępem do internetu,

• zestaw wzorów matematycznych

• projektor multimedialny,

• zestaw wzorów matematycznych

• arkusze papieru, pisaki

Przebieg lekcji

Przed lekcją:

Nauczyciel podłącza projektor multimedialny do komputera. Sprawdza urządzenia audio. Przygotowuje dla każdego z uczniów zestaw wzorów matematycznych, dopuszczonych do użytku ma egzaminie maturalnym.

Faza wstępna:

• Nauczyciel prosi uczniów o podanie znanych im wzorów na pola prostokąta i trójkąta. Prowadzi dyskusję na temat zastosowań tych wzorów.

• Nauczyciel prosi uczniów o zapisanie wzorów na pole trójkąta, w szczególności tych, do dowodów których stosowano twierdzenie sinusów.

• Nauczyciel podaje temat i cele zajęć, uczniowie ustalają kryteria sukcesu.

Faza realizacyjna:

• Nauczyciel formułuje problem opisany w Przykładzie 1. i prosi o podanie strategii jego rozwiązania. Steruje dyskusją w taki sposób, by punktem wyjścia stało się obliczenie pola trójkąta przy wykorzystaniu twierdzenia sinusów. Uczniowie pod kierunkiem nauczyciela wyznaczają miary kątów danego trójkąta i promienie okręgów wpisanego i opisanego na tym trójkącie.

• Nauczyciel formułuje problem opisany w Przykładzie 2. i dorysowuje wysokość trójkąta poprowadzoną na bok o długości 24. Prosi o zbudowanie układu równań, który poprzez zastosowanie twierdzenia Pitagorasa pozwoli obliczyć boki powstałych trójkątów prostokątnych i w konsekwencji zastosować definicje funkcji trygonometrycznych.

• Nauczyciel formułuje problem opisany w Przykładzie 3. i prosi uczniów o podanie strategii rozwiązania. Sugeruje taki model triangulacji, który pozwala obliczyć pole trapezu. Nauczyciel wskazuje na możliwość obliczenia wartości przybliżonych funkcji trygonometrycznych i wartości dokładnych, przy zastosowaniu wzoru na sinus sumy argumentów.

• Uczniowie zapoznają się z prezentacją multimedialną. Następnie pracując w grupach wykonują polecenia zapisane pod prezentacją. W razie potrzeby nauczyciel wskazuje miejsce (slajd) w prezentacji, gdzie uczniowie mogą znaleźć pomoc w rozwiązaniu.

• Uczniowie wykonują zaproponowane ćwiczenia interaktywne, wykorzystując umiejętności z różnych działów matematyki.

Faza podsumowująca:

• Nauczyciel prosi wybranych uczniów o przedstawienie najważniejszych elementów, jakie były omawiane w trakcie lekcji. Inicjuje dyskusję na temat zastosowania poznanych wzorów na pole trójkąta.

Praca domowa:

• Nauczyciel poleca, aby uczniowie wykonali w domu ćwiczenia interaktywne, które nie zostały wykonane w czasie zajęć.

Materiały pomocnicze:

Twierdzenie o kącie wpisanym i środkowymD1AXVoCXdTwierdzenie o kącie wpisanym i środkowym

Wskazówki metodyczne:

Prezentację multimedialną można wykorzystywać zarówno w trakcie powtórzenia wiadomości z planimetrii, jak również przy okazji rozwiązywania zadań w trakcie przygotowań do egzaminu maturalnego z matematyki.