Autor: Paweł Kwiatkowski

Temat: Wariacje bez powtórzeń - zadania ze złożonymi warunkami

Grupa docelowa:

III etap edukacyjny, liceum ogólnokształcące, technikum, zakres rozszerzony

Podstawa programowa:

XI. Kombinatoryka

Zakres rozszerzony. Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto:

1) oblicza liczbę możliwych sytuacji, spełniających określone kryteria, z wykorzystaniem reguły mnożenia i dodawania (także łącznie) oraz wzorów na liczbę: permutacji, kombinacji i wariacji, również w przypadkach wymagających rozważenia złożonego modelu zliczania elementów;

Kształtowane kompetencje kluczowe:

• kompetencje w zakresie rozumienia i tworzenia informacji;

• kompetencje matematyczne oraz kompetencje w zakresie nauk przyrodniczych, technologii i inżynierii;

• kompetencje cyfrowe;

• kompetencje osobiste, społeczne i w zakresie umiejętności uczenia się.

Cele operacyjne:

Uczeń:

• analizuje modele odwołujące się do pojęcia wariacji bez powtórzeń w zadaniach dotyczących m.in. zapisu dziesiętnego liczb naturalnych o różnych cyfrach, a także funkcji różnowartościowych, których dziedziną i zbiorem wartości są zbiory skończone;

• stosując regułę dodawania zapisuje liczbę wszystkich możliwych wyników danego doświadczenia na dwa sposoby, dzięki czemu oblicza, ile jest wyników spełniających zadane warunki.

• dowodzi tożsamości algebraicznych zapisanych z użyciem symboliki odwołującej się do liczby $V_n^k$ wszystkich $k$-elementowych wariacji bez powtórzeń zbioru $n$-elementowego.

Strategie nauczania:

• konstruktywizm;

• konektywizm.

Metody i techniki nauczania:

• praca z tekstem przewodnim;

• metoda krokodyla;

• dyskusja.

Formy pracy:

• praca indywidualna;

• praca w parach;

• praca całego zespołu klasowego.

Środki dydaktyczne:

• komputery z głośnikami, słuchawkami i dostępem do internetu;

• zasoby multimedialne zawarte w e‑materiale;

• tablica interaktywna/tablica, pisak/kreda.

Przebieg lekcji

Przed lekcją:

1. Nauczyciel prosi uczniów o zapoznanie się z treściami zapisanymi w sekcji „Przeczytaj”.

Faza wstępna:

1. Nauczyciel określa temat lekcji: „Wariacje bez powtórzeń - zadania ze złożonymi warunkami” oraz cele.

2. Wybrana osoba formułuje kryteria sukcesu i zapisuje je na tablicy.

3. Uczniowie przypominają sobie pojęcie wariacji bez powtórzeń oraz twierdzenie o liczbie wariacji bez powtórzeń.

Faza realizacyjna:

1. Uczniowie w parach zapoznają metodą tekstu przewodniego zapoznają się z materiałem w sekcji „Przeczytaj”. Notują pytania do przedstawionych przykładów, które następnie omawiane są na forum klasy.

2. Uczniowie w parach zapoznają się z przedstawionym w animacji sposobami na obliczanie liczby wszystkich pięciocyfrowych liczb naturalnych o różnych cyfrach, które są większe od $62571$. Następnie obliczają, ile jest wszystkich sześciocyfrowych liczb naturalnych o różnych cyfrach, które są mniejsze od $470913$.

3. Uczniowie indywidualnie wykonują ćwiczenia interaktywne nr 3‑8, metodą krokodyla. Krokodylem jest nauczyciel, który „czeka nieruchomo na brzegu rzeki” i „ożywia się” tylko w przypadku, gdy uczeń nie może sobie poradzić z zadaniem.

Faza podsumowująca:

1. Omówienie ewentualnych problemów z rozwiązaniem ćwiczeń z sekcji „Sprawdź się”.

2. Wybrany uczeń podsumowuje zajęcia, odnosząc się do wcześniej zapisanych kryteriów sukcesu.

Praca domowa:

• Uczniowie rozwiązuję ćwiczenie interaktywne nr 1‑2.

Materiały pomocnicze:

• Inne spojrzenie. Permutacje, kombinacje, wariacje

Wskazówki metodyczne:

Animację można wykorzystać jako materiał, służący powtórzeniu materiału z wariacji bez powtórzeń.