Autor: Anna Rybak

Przedmiot: Matematyka

Temat: Rozumienie twierdzeń, przygotowanie do ich dowodzenia

Grupa docelowa:

III etap edukacyjny, liceum ogólnokształcące, technikum, zakres rozszerzony

Podstawa programowa:

Cele kształcenia – wymagania ogólne

II. Wykorzystanie i tworzenie informacji.
2) Używanie języka matematycznego do tworzenia tekstów matematycznych, w tym do opisu prowadzonych rozumowań i uzasadniania wniosków.

IV. Rozumowanie i argumentacja.
1) Przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania.

Treści nauczania – wymagania szczegółowe

I. Liczby rzeczywiste.
Zakres podstawowy. Uczeń:
2) przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia nie trudniejsze niż:
a) dowód podzielności przez $24$ iloczynu czterech kolejnych liczb naturalnych,
b) dowód własności: jeśli liczba przy dzieleniu przez $5$ daje resztę $3$, to jej trzecia potęga przy dzieleniu przez $5$ daje resztę $2$;

Kształtowane kompetencje kluczowe:

• kompetencje w zakresie rozumienia i tworzenia informacji;

• kompetencje cyfrowe;

• kompetencje osobiste, społeczne i w zakresie umiejętności uczenia się;

• kompetencje matematyczne.

Cele operacyjne:

Uczeń:

• formułuje prawo kontrapozycji;

• stosuje do zapisu zdań pojęcie kwantyfikatora ogólnego i kwantyfikatora szczegółowego;

• tworzy zaprzeczenia zdań z kwantyfikatorami;

• formułuje twierdzenia odwrotne do danych;

• zapisuje dane twierdzenia w formie kontrapozycji;

• intuicyjnie określa prawdziwość lub nieprawdziwość twierdzenia, argumentując swoje zdanie – bez dowodzenia.

Strategie nauczania:

• konstruktywizm;

• metoda problemowa.

Metody i techniki nauczania:

• burza mózgów;

• praca z tekstem matematycznym;

• dyskusja;

• mapa myśli;

• ćwiczenia.

Formy pracy:

• praca indywidualna;

• praca całego zespołu klasowego.

Środki dydaktyczne:

• zasoby multimedialne zawarte w e materiale;

• tablica interaktywna/tablica, pisak/kreda.

Przebieg lekcji

Faza wstępna:

• Nauczyciel przedstawia uczniom temat - „Rozumienie twierdzeń, przygotowanie do ich dowodzenia”, wskazuje cele zajęć oraz ustala z nimi kryteria sukcesu.

Faza realizacyjna:

1. Uczniowie wspólnie zapoznają się z prawem kontrapozycji, wykonują                  Ćwiczenie 1,  a następnie analizują Przykład 1.

2. Nauczyciel wprowadza pojęcia: kwantyfikator ogólny i kwantyfikator szczegółowy.

3. Uczniowie analizują Przykłady 2.-5. dyskutując nad poruszonymi w nich zagadnieniami.

4. Uczniowie pracują nad Przykładem 6. Najpierw starają się sami wyodrębnić założenie i tezę podanego twierdzenia, zapisać je z użyciem kwantyfikatorów, w postaci kontrapozycji, zapisać twierdzenie odwrotne, a następnie w drodze dyskusji omawiają swoje zapisy.

5. Uczniowie analizują materiał przedstawiony w sekcji „Mapa myśli”, a następnie wykonują Ćwiczenie 2. Podsumowują w formie dyskusji tę część pracy.

6. Uczniowie wykonują zadania z sekcji „Sprawdź się”: 1. indywidualnie, 2. i 4. razem, 6., 7. indywidualnie. Następnie dyskutują o rozwiązaniach zadań wykonywanych indywidualnie, sprawdzając ich poprawność i uzasadniając swoje decyzje.

Faza podsumowująca:

1. Nauczyciel zadaje uczniom pytania: Co było w lekcji trudne? Co było w lekcji interesujące? Co chcielibyście zmienić, gdyby lekcja miała być przeprowadzona jeszcze raz? Jeszcze raz krótko odnosi się do elementów wskazanych jako trudne, komentuje propozycje zmian w lekcji.

2. Uczniowie krótko podsumowują swoje osiągnięcia, rozwijając zdanie: Na dzisiejszych zajęciach zaciekawiło  mnie …

Praca domowa:

• Uczniowie wykonują zadania 3., 5. i 8. z sekcji „Sprawdź się”.

Materiały pomocnicze:

• Co mówią pytania?

Wskazówki metodyczne:

• Podczas tej lekcji główną uwagę zwracamy na kształcenie umiejętności zapisywania twierdzeń odwrotnych do danych i zapisywanie twierdzeń w postaci kontrapozycji.

• Należy ponownie zwrócić baczną uwagę na wyodrębnianie założenia i tezy w twierdzeniach sformułowanych w postaci innej niż implikacja (zadania 4.-8. z sekcji Sprawdź się).

• Przy budowaniu twierdzeń odwrotnych do rozpatrywanych należy przedyskutować z uczniami kwestię prawdziwości twierdzenia wyjściowego i twierdzenia odwrotnego. Należy zwrócić uwagę uczniów na te przypadki, gdy twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe, ponieważ to może później ustrzec uczniów przed zamianą założenia i tezy przy dowodzeniu twierdzenia.

• Zapisywanie twierdzeń w postaci kontrapozycji ma uczniów przygotować do dowodzenia metodą nie wprost. Należy tutaj zwrócić baczną uwagę na prawidłowe budowanie negacji założenia i tezy, zwłaszcza jeśli w twierdzeniu mamy do czynienia z nierównościami – w negacjach uczniowie często nie zwracają uwagi na to, czy nierówność powinna być ostra czy nieostra. Podobnie jest z domkniętością przedziałów.

• Znajomość kwantyfikatorów jest ponadprogramowa, ale dobrze przygotowuje do pracy z kontrprzykładami.

• Mapę myśli można wykorzystać np. na zajęciach poświęconych dowodom geometrycznym.