Wydrukuj Zapisz jako PDF Dodaj do ulubionych Udostępnij materiał
iQa4B0s9mq_d5e82
Przykład 1

Oblicz długość odcinka AB o końcach w punktach A=(-5,2)B=(1,6).
Zbudujmy trójkąt prostokątny, którego przyprostokątne są równoległe do osi układu współrzędnych, a odcinek AB jest jego przeciwprostokątną.

Przykład 2

Odległość punktów na osi liczbowej jest równa wartości bezwzględnej różnicy liczb, odpowiadających tym punktom.

R19jGrOB9qfDM1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zatem przyprostokątne tego trójkąta mają długości AC=6BC=4.
Na podstawie twierdzenia Pitagorasa obliczymy długość przeciwprostokątnej AB.

AB2=AC2+BC2
AB2=62+42
AB2=52
AB=52=213.
Przykład 3

Punkty A=(xA,yA)B=(xB,yB) są końcami odcinka AB. Oblicz długość odcinka AB.

R1T1vXiwINeMf1
Animacja
Zapamiętaj!
RwtHNFl7IgN7E1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Długość odcinka AB, którego końcami są punkty A=(xA,yA)B=(xB,yB) obliczamy ze wzoru

AB=xA-xB2+yA-yB2

Zauważmy, że wzór jest prawdziwy w szczególnych przypadkach:

  • gdy odcinek AB jest równoległy do osi Ox, wtedy

yA=yB
AB=xA-xB2=xA-xB
  • gdy odcinek AB jest równoległy do osi Oy, wtedy

xA=xB
AB=yA-yB2=yA-yB
iQa4B0s9mq_d5e185

Środek odcinka

Przykład 4

Ola ma 160 cm wzrostu, a jej brat Marcin 190 cm. Oblicz średni wzrost rodzeństwa.
Średni wzrost brata i siostry odpowiada średniej arytmetycznej liczb 160190, czyli

x=160+1902=175 cm. 

Na osi liczbowej liczba 175 jest jednakowo oddalona od obu liczb 160190.

R1XSl9MsA8gzO1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Z własności średniej arytmetycznej dwóch liczb wynika, że liczba odpowiadająca średniej dwóch liczb leży na osi liczbowej dokładnie pośrodku między tymi dwoma liczbami.

Przykład 5

Punkty A=(xA,yA)B=(xB,yB) są końcami odcinka AB. Wyznacz współrzędne środka odcinka AB.

RNbFWRr7bLpDL1
Animacja
Zapamiętaj!
R19DOBgv2fbYN1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Współrzędne punktu S, który jest środkiem odcinka o końcach w punktach A=(xA,yA)B=(xB,yB), są średnimi arytmetycznymi współrzędnych końców odcinka AB.

S=(xA+xB2 , yA+yB2)
RVaNQT8jPI3hy1
Animacja pokazuje punkty A, B oraz punkt S. Należy tak ustawić punkt A, aby środkiem odcinka AB był punkt S. W dalszej części animacji dany jest punkt S i odcinek AB. Należy tak ustawić punkt S, aby był środkiem podanego odcinka AB. Współrzędne punktów zmieniają się.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
Przykład 6

Sprawdź, czy trójkąt o wierzchołkach w punktach A=(2,2), B=( -3,6)C=(5,6) jest równoramienny. Oblicz obwód tego trójkąta.

R1Cwt5zPtoKZW1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Korzystając ze wzoru na długość odcinka, obliczymy długości boków trójkąta.

AB=2+32+2-62=25+16=41
AC=2-52+2-62=9+16=25=5

Zauważ, że drugie współrzędne punktów Bsą równe 6, co oznacza, że odcinek BC jest równoległy do osi Ox. Jego długość jest równa

BC=5+3=8.

Długość tego odcinka możemy również obliczyć, wykorzystując odpowiedni wzór. Wtedy

BC=-3-52+6-62=64=8

Każdy bok tego trójkąta ma inną długość, zatem nie jest on równoramienny.
Obwód trójkąta jest równy

Ob=5+8+41=13+41
Przykład 7

Oblicz długość przekątnej prostokąta ABCD o wierzchołkach w punktach: A=(-5,-1),B=(5,-5)C=(7,0). Wyznacz współrzędne wierzchołka D.

R12aXbJpcpHLY1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przekątna prostokąta ABCD jest równa długości odcinka

AC=-5-72+-1-02=144+1=145

Przekątne w prostokącie przecinają się w punkcie S, który jest środkiem każdej z nich. Wynika z tego, że środek przekątnej AC jest również środkiem przekątnej BD.
Środek S przekątnej AC ma współrzędne

S=-5+72,-1+02=1,-12
R19UO85IDOxSL1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Niech D=(xD,yD).
S=(1,-12) jest środkiem odcinka BD, a zatem

1,-12=(5+xD2,-5+yD2)
1=5+xD2,-12=-5+yD2
xD=-3 i yD=4

Wynika z tego, że D=(-3,4).

RukxuQUssfe391
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
iQa4B0s9mq_d5e344
Przykład 8

Napisz równanie prostej, na której leży środkowa poprowadzona z wierzchołka C w trójkącie o wierzchołkach w punktach

A=-2,-5, B=8, 1,C=0, 4.

Środkowa trójkąta to odcinek łączący wierzchołek ze środkiem przeciwległego boku.
Naprzeciw wierzchołka C leży bok AB, którego środek ma współrzędne

S=-2+82,-5+12=3,-2

Środkowa poprowadzona z wierzchołka C leży na prostej CS i ma równanie y=ax+b.
Współczynnik kierunkowy tej prostej jest równy

a=4+20-3=-2,

a punkt C=0,4 jest jej punktem przecięcia z osią Oy. Wynika z tego, że b=4.
Równanie prostej zawierającej środkową trójkąta poprowadzoną z wierzchołka C ma postać

y=-2x+4
R4obq7VrHUABS1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Przykład 9

Punkty =(-3,7)B=(4,8) są wierzchołkami rombu ABCD, a punkt =(3,5) jest jego środkiem symetrii. Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków rombu.
Środek symetrii rombu jest jednocześnie środkiem każdej przekątnej tego rombu.
Punkt =(3, 5) jest środkiem przekątnej AC, zatem

3, 5=-3+xC2,7+yC2,

czyli

3=-3+xC2,5=7+yC2
xC=9,yC=3
C=(9,3)

Podobnie obliczymy współrzędne punktu D.

3,5=(4+xD2,8+yD2)
3=4+xD2,5=8+yD2
xD=2,yD=2
D=(2,2)
RLjQBSVDN058v1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
iQa4B0s9mq_d5e436
A
Ćwiczenie 1

Punkt S jest środkiem odcinka AB. Znajdź brakujące współrzędne.

Rg1F2y5OFveyR1
Animacja pokazuje odcinek AB w układzie współrzędnych oraz punkt S, który jest środkiem odcinka. Podane są współrzędne dwóch punktów A, B lub S. należy wyznaczyć współrzędne brakującego punktu. Współrzędne punktów zmieniają się.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
A
Ćwiczenie 2

Wyznacz współrzędne środka odcinka o końcach w punktach AB.

  1. A=(2, 32), B=(-32,52)

  2. A=(1, 33), B=(-5,33)

  3. A=(-42, -3), B=(-42,3)

  4. A=1-5, 3+3, B=1+5,3-3

A
Ćwiczenie 3
RwxZb0dViLKlh1
E-podręczniki z matematyki
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 4
Rc4RGCxARzQ0P1
Zadanie interaktywne
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 5
RPEjprIboxDB21
Zadanie interaktywne
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 6
R1ZWmg4PZVHVf1
Zadanie interaktywne
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
iQa4B0s9mq_d5e529
A
Ćwiczenie 7
RbqAywZxyMvbp1
Zadanie interaktywne
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 8
R17okWLbP7sMq1
Zadanie interaktywne
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 9

Oblicz obwód trójkąta, którego wierzchołkami są podane punkty.

  1. A=(1,6), B=(-4,1), C=(1,-4)

  2. A=(2,8), B=(-2,5), C=(6,-1)

  3. A=(2, - 2), B=(22,-22), C=(32, 2)

A
Ćwiczenie 10

Wyznacz równanie prostej zawierającej środkową trójkąta ABC poprowadzoną z wierzchołka A.

  1. A=(2,8), B=(-2,5), C=(6,-1)

  2. A=(-3,4), B=(5,-1), C=(5,9)

  3. A=(0,0), B=(4,-1), C=(2,5)

  4. A=(-2,1), B=(0,6), C=(6,2)

A
Ćwiczenie 11

Punkty A, B, C są wierzchołkami prostokąta ABCD. Oblicz długość przekątnej prostokąta oraz wyznacz współrzędne wierzchołka D.

  1. A=(-2,3), B=(1,6), C=(5,2)

  2. A=(2,0), B=(-2,6), C=(1,8)

  3. A=(0,3), B=(-6,0), C=(0,-12)

iQa4B0s9mq_d5e701
A
Ćwiczenie 12

Sprawdź, czy trójkąt ABC jest równoramienny.

  1. A=(2,-7), B=(-5,-3), C=(6,0)

  2. A=(1,-6), B=(-5,1), C=(7,1)

  3. A=(1,-5), B=(8,-6), C=(6,4)

A
Ćwiczenie 13

Przekątne równoległoboku ABCD przecinają się w punkcie S. Wyznacz współrzędne brakujących wierzchołków równoległoboku.

  1. A=(0,-4), B=(7,-5), S=(3,0)

  2. A=(9,1), B=(1,-7), S=(2,-2)

  3. A=(7,0), B=(0,-4), S=(0,-1)

  4. A=(10,-4), B=(5,-7), S=(7,-72)

A
Ćwiczenie 14

Dane są punkty: A=(4,1), B=(2,-4), C=(-2,2). Wyznacz równania prostych zawierających środkowe trójkąta ABC.

A
Ćwiczenie 15

Sprawdź, czy trójkąt ABC jest podobny do trójkąta A1B1C1, jeśli wierzchołki trójkątów mają współrzędne:
A=(-2,1), B=(-1,-2), C=(1,2) oraz A1=(3,0) , B1=(-3,-2), C1=(5,-6).

A
Ćwiczenie 16

Dane są punkty S=(412,-12) , A=(m+3,m)  oraz B=(2m,m-5). Wyznacz wartość m tak, aby AS=BS.

A
Ćwiczenie 17

Punkty A=(m-2,-2m+8), B=(5,0). Wyznacz takie wartości m, dla których długość odcinka AB jest równa 22.