We wzorze funkcji występuje wyrażenie wymierne, które ma sens liczbowy, gdy $x+3\ne 0$, czyli dla $x\ne -3$.

Ponieważ $x^2\ge 0$ dla dowolnego $x$, to $x^2+3\ge 3$, czyli wyrażenie w mianowniku jest dodatnie dla dowolnego $x$ rzeczywistego. Wobec tego dziedziną danej funkcji jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych.

We wzorze funkcji występuje pierwiastek, zatem wyrażenie $x+2$ musi być nieujemne. Stąd dziedziną danej funkcji jest przedział $⟨-2,+\infty )$.

We wzorze występuje wyrażenie wymierne, więc jego mianownik $x-3$ musi być różny od zera. A zatem dziedziną funkcji $k$ jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych różnych od$3$, co zapisujemy symbolicznie: $D_k=\mathrm{ R}\setminus \left\{3\right\}$ lub $D_k=\left(-\infty ,3\right)\cup \left(3,+\infty \right)$.

$D_f=⟨5,+\infty )$

We wzorze funkcji występuje pierwiastek, a zatem wyrażenie pod pierwiastkiem $x-5$ musi być nieujemne. Wobec tego $x\ge 5$. Wynika z tego, że dziedziną funkcji $f$ jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych nie mniejszych od $5$.

$D_f=R\setminus \{–1, 3\}$

We wzorze funkcji występuje wyrażenie wymierne, więc jego mianownik $(x+1)(2x-6)$ musi być różny od zera. Wobec tego każdy z czynników tego iloczynu musi byc różny od zera. Stąd $x+1\ne 0$ i $2x-6\ne 0$, czyli $x\ne -1$ i $x\ne 3$ Wynika z tego, że dziedziną funkcji $f$ jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych różnych od $–1$ i od $3$.

$D_f=R\setminus \{0, 4\}$

We wzorze funkcji występuje wyrażenie wymierne, skąd wniosek, że jego mianownik $x^2-4x$ musi być różny od zera. Ponieważ $x^2-4x=x(x-4)$, to każdy z czynników tego iloczynu musi być różny od zera. Stąd $x\ne 0$ i $x-4\ne 0$.
A zatem dziedziną funkcji $f$ jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych różnych od $0$ i od $4$.

$D_t=(-\infty ,-1)$

We wzorze funkcji $t$ występuje wyrażenie wymierne, w którego mianowniku zapisany jest pierwiastek. Wynika z tego, że wyrażenie pod pierwiastkiem musi być nieujemne i jednocześnie wartość tego pierwiastka musi być różna od $0$. Stąd $\sqrt{-1-x}\ne 0$ i $-1-x\ge 0$, czyli $-1-x\ne 0$ i $-1\ge x$, $x\ne -1$ i $x\le -1$, a zatem $x<-1$. Dziedziną funkcji $t$ jest wobec tego przedział $(-\infty ,-1)$.
Warto przy okazji podkreślić, że jeżeli mianownik wyrażenia wymiernego jest zapisany w postaci pierwiastka kwadratowego, to liczba pod pierwiastkiem musi być dodatnia.

$D_f=\left(-\infty ,-7\right)\cup \left(-7\right.,2>$

We wzorze funkcji $f$ występują pierwiastek i wyrażenie wymierne.
Wobec tego funkcja $f$ jest określona dla tych $x$, które spełniają układ warunków $2-x\ge 0$ i $x+7\ne 0$ czyli $x\le 2$ i $x\ne -7$.
Do dziedziny funkcji $f$ należą wobec tego wszystkie liczby rzeczywiste należące do przedziału $\left(-\infty ,-7\right)$ lub do przedziału $\left(-7\right.,2>$.

$P\left(x\right)=-\frac{1}{2}{x}^2+2x$, $D_P=\left(0, 2\right)$

Zauważmy, że pole kwadratu jest równe $4$ i jest równe sumie pól trójkątów: $\mathrm{AEF}$, $\mathrm{ABE}$, $\mathrm{ADF}$ i $\mathrm{ECF}$. Pole trójkąta $\mathrm{AEF}$ zapiszemy jako różnicę pola kwadratu oraz sumy pól trójkątów $\mathrm{ABF}$, $\mathrm{ADE}$ i $\mathrm{ECF}$.
Trójkąt $\mathrm{ECF}$ jest prostokątny, jego przyprostokątne mają długość $x$, czyli jego pole jest równe $\frac{1}{2}{x}^2$. Trójkąty $\mathrm{ABF}$ i $\mathrm{ADE}$$\mathrm{są}$ przystającymi trójkątami prostokątnymi, w których długości przyprostokątnych są równe $2$ i $2-x$. Wobec tego każdy z tych trójkątów ma pole $\frac{1}{2}\cdot 2\cdot \left(2-x\right)=2-x$, a zatem

Ponieważ długość odcinka $CE$ nie przekracza $2$, to dziedziną funkcji $P$ jest przedział $(0, 2)$.