Dodaj do ulubionych Udostępnij materiał Wydrukuj

Słowo geometria pochodzi z języka greckiego i oznacza „mierzenie ziemi” (geo to ziemia, metroin to mierzyć). W starożytnej Grecji, a wcześniej jeszcze w Egipcie, geometrzy pełnili taką rolę, jaką dziś pełnią geodeci. Wykonywali pomiary działek – wyznaczali granice, obliczali pola powierzchni. Używali przy tym sznurów i  prostych przyrządów, przypominających cyrkle. Działki egipskich chłopów były corocznie zalewane przez Nil, zatem geometrzy ciągle doskonalili swoje umiejętności, aby terminowo wykonać pilne prace.

Rozglądając się dokoła, zauważamy rozmaite obiekty trójwymiarowe. Opisując je, możemy określić ich długość, szerokość, wysokość lub głębokość. Takie obiekty to figury przestrzenne (bryły). Badaniem własności brył zajmuje się stereometria (z języka greckiego stereo to przestrzeń).
Cienie brył (w geometrii zwane rzutami) mają kształt figur płaskich. Badaniem własności figur płaskich zajmuje się nauka zwana planimetrią (z języka greckiego plano to płaszczyzna, metroin to mierzyć).

R1HvGypX8YHX51
Animacja
A
Ćwiczenie 1

Zastanów się, jak zmienia się cień obracającego się sześcianu.

  • Jak myślisz – jaką figurę płaską będzie przypominał cień sześcianu, na który popatrzymy z góry? A z boku?

  • Czy można tak umieścić sześcian, by patrząc z góry, widzieć sześciokąt?

  • Jakie inne figury płaskie przypominają ci cienie sześcianu?

Sprawdź swoje przypuszczenia.

RPaDpoamdYJ1w1
Animacja 3D pokazuje obracający się sześcian, który pozostawia na płaszczyźnie różne odbicia.

Zauważamy, że cienie sześcianu mają najczęściej kształt wielokątów - czworokątów, sześciokątów lub pięciokątów.
Niektóre elementy figur przestrzennych także mają kształt figur płaskich.

Przykład 1

Jakie figury płaskie można dostrzec na rysunkach?

R1cqcPvgSDn8d1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ciekawostka
  • Na liście nazwisk zapisanych na wieży Eiffla znajduje się nazwisko francuskiego matematyka, fizyka i chemika Gasparda Monge’a, żyjącego na przełomie XVIIIXIX w.

  • Monge opracował metodę odwzorowywania brył na prostopadłe względem siebie płaszczyzny. Metoda ta, zwana rzutami Monge, jest stosowana powszechnie do rozwiązywania wielu problemów geometrycznych.

icqMOapvRa_d5e200

Punkt, prosta, wzajemne położenie prostych

Już wiesz
R1VdKCyieCjIJ1
Animacja
Zapamiętaj!
  • Najprostszą figurą geometryczną jest punkt.

  • Wszystkie pozostałe figury geometryczne składają się z punktów.

  • Punkty oznaczamy dużymi literami.

Modelem punktu może być kropka narysowana ołówkiem lub na przykład zmniejszający się obraz Księżyca widzianego ze statku kosmicznego.

RLxJf9reJ56GM1
Animacja
Ważne!

Przykładem figury, która składa się z nieskończenie wielu punktów, jest prosta.

R1ZGNSD3XBixx1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Proste oznaczamy małymi literami, na przykład: a, c, p, r, q, t, s.

RUb2KYwV24bNz1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Zapamiętaj!
  • Dwie proste nazywamy równoległymi, jeśli nie mają punktów wspólnych lub mają nieskończenie wiele punktów wspólnych (pokrywają się).

  • Jeśli proste mają dokładnie jeden punkt wspólny, to mówimy, że przecinają się. Takie proste nazywamy prostymi przecinającymi się.

  • Jeśli proste przecinają się pod kątem prostym, wówczas nazywamy je prostopadłymi.

icqMOapvRa_d5e292
Przykład 2

Przedstawmy konstrukcję prostej prostopadłej do danej prostej, poprowadzonej przez dany punkt.
Rozważymy dwa przypadki – punkt nie leży na danej prostej i punkt leży na prostej.
Przypadek I
Dana jest prosta p i punkt A nieleżący na tej prostej.

Raabun646G3xZ1
Animacja

Opis konstrukcji

  • Kreślimy okrąg o środku w punkcie A tak, aby przecinał prostą p.

  • Punkty przecięcia okręgu z prostą oznaczamy KL.

  • Rysujemy okręgi o jednakowych promieniach i o środkach w punktach KL, tak aby jednym z punktów przecięcia okręgów był punkt A.

  • Drugi z punktów przecięcia okręgów oznaczamy A.

  • Rysujemy prostą przechodzącą przez punkty AA. Prosta ta jest prostopadła do prostej p.

Przypadek II
Punkt A leży na prostej p.

Rr9JKHAMau5lw1
Animacja

Opis konstrukcji

  • Rysujemy okrąg o środku w punkcie A.

  • Punkty przecięcia okręgu z prostą p oznaczamy KL.

  • Kreślimy przecinające się okręgi o równych promieniach i środkach odpowiednio w punktach K oraz L.

  • Punkty przecięcia okręgów oznaczamy M, N.

  • Rysujemy prostą przechodzącą przez punkty M, N. Prosta ta jest prostopadła do prostej p i przechodzi przez punkt A.

Przedstawmy teraz konstrukcję prostych równoległych.

Przykład 3

Dana jest prosta p i punkt A nieleżący na tej prostej. Skonstruujemy prostą równoległą do prostej p przechodzącą przez punkt A.

Ra1oZGrJV5K7c1
Animacja

Opis konstrukcji

  • Kreślimy okrąg o środku w punkcie A i takim promieniu r, aby okrąg przeciął prostą p.

  • Jeden z punktów przecięcia okręgu z prostą oznaczamy B.

  • Z punktu B wykreślamy okrąg o promieniu r.

  • Oznaczamy C – punkt przecięcia tego okręgu z prostą p.

  • Punkt przecięcia okręgu o środku w punkcie A z okręgiem o środku w punkcie C oznaczmy D.

  • Przez punkty AD przeprowadzamy prostą q. Prosta ta jest równoległa do prostej p.

A
Ćwiczenie 2

Ile prostych przechodzi przez dany punkt? A przez dwa różne punkty?

R1KKIjHiEWLOI1
Animacja
Prosta i punkty 
Własność: Prosta i punkty 
  • Przez jeden punkt przechodzi nieskończenie wiele prostych.

  • Przez dwa różne punkty przechodzi dokładnie jedna prosta.

icqMOapvRa_d5e447

Półpłaszczyzna

Półpłaszczyzna
Definicja: Półpłaszczyzna

Prosta dzieli płaszczyznę na dwie części. Każdą z nich wraz z tą prostą nazywamy półpłaszczyzną. Prosta ta jest brzegiem każdej z tych półpłaszczyzn.

R15eoqIftIkVW1
Animacja
A
Ćwiczenie 3

Jak myślisz – na ile części dwie proste mogą podzielić płaszczyznę? A trzy proste? Sprawdź swoje przypuszczenia.

RFU4E4U4POkEB1
Animacja pokazuje trzy proste. Do pierwszej prostej należą punkty A i B. Do drugiej punkty C i D. Do trzeciej punkty E i F. Należy poruszając punktami na prostych, tak ustawić te proste, aby podzieliły płaszczyzny na trzy, cztery, pięć, sześć, siedem lub osiem części. Czy zawsze się to uda?
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Jaka jest najmniejsza, a jaka największa liczba części, na które trzy różne proste mogą podzielić płaszczyznę?

icqMOapvRa_d5e513

Półprosta, odcinek

Rx7fxDH9qRRWw1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Zapamiętaj!

Punkt leżący na prostej dzieli ją na dwie części. Każdą z tych części, wraz z tym punktem nazywamy półprostą. Punkt ten jest początkiem każdej z półprostych.

Odcinek
Definicja: Odcinek

Część prostej zawartej między dwoma punktami, wraz z tymi punktami, to odcinek.

Przykład 4

Zmieniaj położenie punktów AB na prostej tak, aby otrzymać prostą, odcinek, półprostą.

RUG2SWRjK9LwE1
Animacja pokazuje, że dwa punkty A i B wyznaczają zawsze jedną prostą AB, półprostą AB lub BA oraz odcinek AB.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
Przykład 5

Obserwując położenie prostych i odcinków zawartych w prostych prostopadłych, zauważamy, że wszystkie półproste i odcinki zawarte w  jednej z prostych prostopadłych są prostopadłe do każdej półprostej i każdego odcinka zawartych w drugiej półprostej.

RySLfjbyWXbul1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Podobnie, wszystkie półproste i odcinki zawarte w  jednej z prostych równoległych są równoległe do każdej półprostej i każdego odcinka zawartych w drugiej prostej.

R1THZwflh6PdS1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
icqMOapvRa_d5e600

Łamana

B
Ćwiczenie 4

Narysuj otwartą kopertę. Nie odrywaj ołówka od papieru i nie prowadź go dwa razy po tym samym odcinku (oprócz początku i końca odcinka).

Rw2AlD5UvNTw21
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Zapamiętaj!
  • Łamana to figura zbudowana z odcinków w ten sposób, że koniec pierwszego odcinka jest początkiem drugiego odcinka, koniec drugiego odcinka jest początkiem trzeciego, itd.

  • Końce odcinków – to wierzchołki łamanej.

Przykład 6
  • To jest łamana otwarta SPORT. Ma ona 5 wierzchołków.

    RPmKT5KAASjCv1
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

  • To jest łamana zamknięta AKLEM.

    RKvpkOc82cuN71
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 7

Figury na rysunku zbudowane są z odcinków. Każdą z nich można narysować, nie odrywając ołówka od kartki papieru i nie rysując drugi raz po tej samej linii, są to przykłady łamanych.

R1J4efaxGoNY61
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Czym różni się łamana zamknięta od otwartej?

Przykład 8

Uzasadnij, że figury przedstawione na rysunku nie są łamanymi.

R1LEEl5i2dqxS1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ciekawostka

Z pewnością wiesz, że gazy zbudowane są z cząsteczek, które nieustannie się poruszają. Cząsteczka gazu porusza się po prostej do momentu zderzenia z inną cząsteczką. Zmienia wtedy kierunek ruchu, aż do następnego zderzenia. Można więc przyjąć, że tor ruchu tej cząsteczki ma kształt łamanej.

Przykłady figur płaskich

Modele jakich figur płaskich zauważasz na rysunkach?
Czy rozpoznajesz wśród nich wielokąty? A okręgi? A koła?

R1YUOALP9MfRo1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
icqMOapvRa_d5e718
A
Ćwiczenie 5

Narysuj dwa odcinki

  1. mające jeden punkt wspólny

  2. prostopadłe

  3. równoległe

classicmobile
Ćwiczenie 6

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R5LVYkRWjQdNa
static
classicmobile
Ćwiczenie 7

Proste, które nie mają punktów wspólnych lub pokrywają się, to proste

Ryc8NmQ0peo4Z
static
A
Ćwiczenie 8

Proste ab są równoległe. Prosta c jest prostopadła do prostej b, a prosta d jest równoległa do prostej c.

  1. Jak są położone względem siebie proste ac?

  2. Jak położone są względem siebie proste bd?

  3. Ile punktów wspólnych mają proste cb?

B
Ćwiczenie 9

Punkt A wyznacza na prostych mn cztery półproste. Jak położone są proste mn? Gdzie leży punkt A?

A
Ćwiczenie 10

Narysuj dwa różne punkty AB. Przez punkt A przeprowadź prostą p, a przez punkt B prostą r tak, aby proste pr

  1. nie miały punktów wspólnych

  2. przecinały się

  3. były prostopadłe

A
Ćwiczenie 11

Wykorzystując konstrukcje prostych prostopadłych i prostych równoległych, narysuj

  1. prostokąt

  2. równoległobok

icqMOapvRa_d5e952
B
Ćwiczenie 12

Zaobserwuj w kształcie jakich figur płaskich mogą być cienie prostopadłościanu.

B
Ćwiczenie 13

Narysuj prostą i zaznacz na niej punkty A, B, C, D tak, aby punkt C leżał między punktami AB. Rozpatrz różne przypadki.

A
Ćwiczenie 14

Mucha wędruje z punktu A do punktu B. Porusza się tylko po liniach kratek w dół i w prawo. Musi przejść przez punkt C. Długość jednej kratki jest równa 2.

  1. Zaznacz kilka dróg, którymi może się poruszać mucha.

  2. Znajdź długość każdej z nich.

  3. Jaką długość ma najkrótsza z możliwych dróg?

    R1VhEKMwu67tS1
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

A
Ćwiczenie 15

Narysuj łamaną, której

  1. boki są prostopadłe

  2. dokładnie dwa boki są równoległe

  3. każdy bok ma inną długość

  4. boki są prostopadłe, ale ich długości nie są równe

A
Ćwiczenie 16
R12cDMA6A8VTr1
Zadanie interaktywne.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
classicmobile
Ćwiczenie 17

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R1OQM956iJibY
static
C
Ćwiczenie 18

Dokończ poniższe zdanie.
Łamana zwyczajna zamknięta, która ma najmniejszą liczbę boków jest brzegiem … .

classicmobile
Ćwiczenie 19

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

REczNpMDjCcYX
static
classicmobile
Ćwiczenie 20

Czy można zbudować łamaną zamkniętą złożoną z trzech odcinków o długościach a, b, c?

R1DFm45jW7BHV
static
K
Ćwiczenie 21

Znajdź informacje na temat Gasparda Monge i  zastosowania wynalezionej przez niego metody rzutowania obiektów na 2 lub 3 płaszczyzny wzajemnie do siebie prostopadłe.