Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał

Figury podobne

RMfdUwIUyrfIH1
Animacja przedstawia kilka przykładów ilustrujących podobieństwo. Pierwszy przykład to płaska fotografia drzewa, którego rozmiary możemy powiększać lub pomniejszać. Otrzymujemy w ten sposób całą rodzinę fotografii, z których każda ma inny wymiar, ale wszystkie są do siebie podobne. Z podobieństwem mamy też doczynienia, gdy oglądamy jakiś przedmiot prze lupę lub mikroskop. Na zasadzie podobieństwa działa również aparat fotograficzny, który daje obraz podobny do rzeczywistego fotografowanego obiektu.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
Ważne!

Figury, które mają ten sam kształt, ale które mogą mieć inną wielkość, nazywamy podobnymi.

RYPkrAcDHhhyA1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Figura F jest podobna do figury G. Symbolicznie zapisujemy

F~G

Skala podobieństwa

R1athTGJlKeze1
Animacja
B
Ćwiczenie 1
R10gfpIrDdHAh1
Animacja pokazuje drzewo narysowane w pewnej skali. Wysokość drzewa w rzeczywistości wynosi 6 metrów. Posługując się linijką z centymetrową skalą, należy zmierzyć wysokość drzewa na rysunku i podać, w jakiej skali narysowano drzewo.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
A
Ćwiczenie 2
R6o7igdYo9Vgi1
Animacja pokazuje dorosłego słonia w pewnej skali. Wysokość słonia wynosi 3,6 metra. Posługując się linijką z centymetrową skalą, należy zmierzyć wysokość słonia na rysunku podać, w jakiej skali narysowano słonia.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
R1HdlAbB4OEpk1
Animacja ilustruje skalę podobieństwa na przykładzie drzewa oglądanego z różnej odległości. W zależności od odległości widzimy ten sam kształt drzewa, ale zmienia się jego wielkość. Drzewa są podobne. Powiększenie lub pomniejszenie tego samego obiektu wyraża iloraz miary jego wielkości po zmianie w stosunku do miary wielkości obiektu początkowego. Iloraz ten nosi nazwę skali podobieństwa. Jeżeli skala podobieństwa wynosi 1, wówczas obiekt początkowy i końcowy są tej samej wielkości. Animacja pozwala odczytać minimalną i maksymalną skalę podobieństwa dla danych obiektów.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
R4yvAkq8NzvDr1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pierwszą z fotografii zmniejszono. Wymiary drugiej fotografii stanowią 75% odpowiednich wymiarów pierwszej fotografii.
Wymiary trzeciej fotografii stanowią 54% odpowiednich wymiarów pierwszej fotografii.
Zatem druga z fotografii jest obrazem pierwszej w skali 75:100, a trzecia jest obrazem pierwszej w skali 54:100.
Prostokąty, w kształcie których są fotografie, to figury podobne. Powiemy, że drugi jest podobny do pierwszego w skali 75100, a trzeci do pierwszego w skali 54100.

Ważne!

Skalą podobieństwa nazywamy liczbę (k>0), wyrażającą stosunek odpowiadających sobie odcinków w figurach podobnych.

Przykład 1

Figurę F przedstawiono w skali 1,2:1, otrzymując figurę G.

RpmiYALw5hkfR1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Figury FG to figury podobne. Figura F jest podobna do figury G w skali k=1012 . Figura G jest podobna do figury F w skali s=1210.

Ważne!

Niech figury FG będą podobne w skali k.
Jeśli A, B są punktami figury F, a punkty A1, B1 są odpowiadającymi im punktami figury G, to A1B1=kAB.

i1N1evcrkd_d5e224
A
Ćwiczenie 3

Określ skalę podobieństwa figur.

R5hdrnEPg9Ml91
Animacja przedstawia rysunki trzech par figur podobnych. Pierwszy rysunek to sześciokąt o boku 1 i sześciokąt o boku 3. Drugi rysunek to trójkąt równoboczny o boku 1 i trójkąt równoboczny o boku 7. Trzeci rysunek to odcinek długości 2 i odcinek długości 4. Należy połączyć te rysunki z podaną skalą: jedna druga, jedna trzecia i jedna siódma.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
Przykład 2

Okrąg 01 jest podobny do okręgu 02 w skali k=34. Średnica okręgu O1 jest równa 15. Oblicz pole koła, którego promień jest równy promieniowi okręgu 02.
Oznaczmy
d1 – średnica okręgu 01
d2 – średnica okręgu 02
Okrąg 01 jest podobny do okręgu 02w skali k=34. Zapisujemy wynikającą stąd proporcję i wyznaczamy średnicę drugiego z okręgów.

d1d2=k
15d2=34
3d2=60
d2=20

Średnica okręgu 02 jest równa 20, zatem promień tego okręgu wynosi 10.
Obliczamy pole koła o promieniu 10.

P=π102=100π

Pole koła jest równe 100π.

Ważne!

Każde dwie figury przystające są podobne. Ich skala podobieństwa wynosi 1.

R1MrPnLcZyhlr1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Przykład 3

Ogrodzenie zbudowane jest z elementów, z których każdy podobny jest do sąsiedniego w skali 1.

RV7PSlO32dzu51
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

W skład porcelanowego serwisu do kawy wchodzi 6 filiżanek, podobnych jedna do drugiej w skali 1.

RvyJCOpYDkWYM1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Przykład 4

Przykłady figur podobnych
W życiu codziennym często spotykamy się z obiektami, które przypominają figury podobne.

R15Wm8QMNToIY1
E-podręczniki z matematyki
Ważne!

Figury geometryczne podobne to na przykład:

  • dwa dowolne odcinki,

  • dwa dowolne okręgi,

  • dwa dowolne kwadraty.

    RHPYnW53MFayJ1
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ważne!

Każde dwa odcinki są podobne. Każde dwa okręgi są podobne. Każde dwa kwadraty są podobne.

RhvAatTvvRK7u1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Każde dwie kule są podobne.
Każde dwa sześciany są podobne.

Przykład 5

Na planie wykonanym w skali 1:50 dywan leżący w pokoju Wieśka jest przedstawiony jako kwadrat o przekątnej długości 8 cm. W rzeczywistości dywan leży pośrodku pokoju i jest oddalony od każdej ze ścian o 0,75 m. Oblicz pole powierzchni podłogi pokoju Wieśka.
Kwadrat, w kształcie którego jest dywan leżący w pokoju Wieśka, jest podobny w skali k=50 do kwadratu przedstawiającego go na planie.
Obliczmy rzeczywistą długość d przekątnej dywanu.

d8=50
d=400 cm = 4 m

Korzystamy ze wzoru na długość przekątnej kwadratu i obliczamy długość a boku kwadratu.

d=a2
4=a2
a=42=422=22

Teraz możemy obliczyć długość x boku kwadratu, w kształcie którego jest podłoga.

x=1,5+22
x=1,5+22 m

Obliczamy pole P powierzchni podłogi – jako pole kwadratu.

P=1,5+221,5+22
P=2,25+32+32+8
P=10,25+62
P18,74m2

Pole powierzchni podłogi pokoju Wieśka jest równe około 18,74m2.

i1N1evcrkd_d5e399

Otrzymywanie figur podobnych

Pokażemy na przykładach, jak można skonstruować figurę podobną do danej.

Przykład 6

Skonstruujemy odcinek CD podobny do danego odcinka AB w skali k=3.

R11UqUSEF4hW01
Animacja ilustruje konstrukcję odcinka w podobieństwie. Dane są punkty A i B. Kreślimy odcinek AB. Wybieramy punkt S nieleżący na odcinku. Kreślimy półproste SA i SB. Odmierzamy cyrklem dwukrotnie odcinek SA od punktu A na półprostej SA. Następnie odmierzamy cyrklem odcinek SB od punktu B na półprostej SB. Powstały punkty A prim i B prim. Prowadzimy odcinek A prim B prim. Jest to odcinek podobny do odcinka AB w skali podobieństwa równej 3.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
A
Ćwiczenie 4

Narysuj dowolny czworokąt.
Zaproponuj sposób konstrukcji figury podobnej w skali k=0,5 do tego czworokąta.

classicmobile
Ćwiczenie 5

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R1GLWJnuuvzwL
static
classicmobile
Ćwiczenie 6

Dwa odcinki podobne są w skali 4:5. Krótszy odcinek ma długość 7 cm. Suma długości tych dwóch odcinków jest równa

R1errJvrn83rB
static
classicmobile
Ćwiczenie 7

W skali 1:2 podobny jest odcinek AB do odcinka CD, gdy

RAQWI8vLxoBF4
static
classicmobile
Ćwiczenie 8

Obwód okręgu O1 jest równy 6π. Promień okręgu O2 jest równy 4. Okrąg O1 jest podobny do okręgu O2 w skali

RLkUQoDkUdl10
static
A
Ćwiczenie 9

Koło K o promieniu r jest podobne do koła W o promieniu w.
Uzupełnij tabelkę.

Tabela. Dane

Skala podobieństwa

Długość promienia r

Długość promienia w

Obwód koła K

Obwód koła W

Pole koła K

Pole koła W

5
9
0,2
10
16π 
2π   
π 
25π 
RLNowPBhjiRPD1
Animacja przedstawia trzy pary figur podobnych F i G: strzałki, okręgi i odcinki. Należy wyznaczyć skale podobieństwa figury F do figury G.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
C
Ćwiczenie 10

Narysuj dowolny odcinek.
Znajdź konstrukcyjnie odcinek

  1. dwa razy dłuższy

  2. cztery razy krótszy

  3. trzy razy dłuższy

i1N1evcrkd_d5e741
C
Ćwiczenie 11

Narysuj trzy różne odcinki i oznacz ich długości literami a, bc. Skonstruuj odcinek takiej długości y, aby spełniona była równość

  1. ab=cy

  2. ya=cb

  3. y=abc

B
Ćwiczenie 12

Udowodnij, że każda figura osiowosymetryczna składa się z dwóch figur podobnych.

B
Ćwiczenie 13

Udowodnij, że dwusieczna kąta dzieli ten kąt na dwa katy podobne.

C
Ćwiczenie 14

Figura F1 jest podobna do figury F2 w skali k. Figura F2 jest podobna do figury F3 w skali m. Czy figury F1F3 są podobne? Jeśli tak to, w jakiej skali? Jeśli nie, podaj przykład.

C
Ćwiczenie 15

Figura F1 jest podobna do figury F2 w skali k. Figura F2 jest przystająca do figury F3. Czy figury F1F3 są podobne? Jeśli tak, to w jakiej skali? Jeśli nie, podaj przykład.

classicmobile
Ćwiczenie 16

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R1Oz7bEEb0v2j
static
classicmobile
Ćwiczenie 17

Zaznacz każde zdanie prawdziwe.
Koło K2 jest podobne do koła K1 w skali k=3. Wycinkowi kola K1 o polu 6π odpowiada kąt środkowy o mierze 60°.

RcQCWxZcirY6F
static
B
Ćwiczenie 18

Uzupełnij zdania.
Okrąg O2 jest podobny do okręgu O1 w skali 25. W okręgu O1kąt środkowy o mierze 12° jest oparty na łuku długości 2π.
Długość okręgu O1 jest równa …, zatem promień tego okręgu jest równy …
Ponieważ promień okręgu O2 jest równy …, to kąt środkowy w tym okręgu oparty na łuku długości … ma miarę 45°.

C
Ćwiczenie 19

Koło K2 jest podobne do koła K1 w skali k=4. Promień koła K1 jest równy 5.
Oblicz pole odcinka kołowego wyznaczonego przez cięciwę łączącą końce dwóch prostopadłych do siebie promieni koła K2.

A
Ćwiczenie 20

Uzupełnij zdania.

  1. Jeśli figura F1 jest podobna do figury F2 w skali k, to F2 jest podobna do F1 w skali …

  2. Jeśli koło K jest podobne do koła M w skali …, to promienie tych kół są równe.

  3. Przekątna dzieli kwadrat na dwa trójkąty podobne w skali …