Film samouczek

Polecenie 1

Zapoznaj się z filmem samouczkiem. Rozwiąż najpierw samodzielnie podane przykłady, a następnie porównaj z prezentowanymi rozwiązaniami.

RelMkEdv3GrLn

Film dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D5iuWrP0P

Film nawiązujący do treści materiału dotyczącej zagadnienia ciągu geometrycznego i arytmetycznego.

Polecenie 2

Trzy liczby tworzą ciąg geometryczny. Suma wyrazów tego ciągu jest równa $14$ . Jeśli od trzeciego wyrazu odejmiemy $2$ , nie zmieniając dwóch poprzednich wyrazów, to otrzymamy ciąg arytmetyczny. Znajdź te liczby.

Oznaczmy:
$a$ – pierwszy wyraz ciągu geometrycznego,
$q$ – iloraz ciągu geometrycznego $(q \neq 0)$ .

Na podstawie treści zadania otrzymujemy układ równań:

$a + a q + a q^{2} = 14$ i $a q = \frac{a + a q^{2} - 2}{2}$

Po przekształceniach układ równań przyjmuje postać:

$a + a q + a q^{2} = 14$ i $a - 2 a q + a q^{2} = 2$

Odejmujemy stronami do pierwszego równania drugie równanie.

Otrzymujemy:

$3 a q = 12$

$a q = 4$

$a = \frac{4}{q}$

Podstawiamy wyznaczone $a$ do pierwszego równania.

$\frac{4}{q} + 4 + 4 q = 14$

$4 q^{2} - 10 q + 4 = 0 | : 2$

$2 q^{2} - 5 q + 2 = 0$

Rozwiązujemy równanie kwadratowe.

$∆ = 25 - 16 = 9 > 0$

$q = 0, 5$ lub $q = 2$

Jeśli $q = 0, 5$ to $a = 8$ .

Jeśli $q = 2$ to $a = 2$ .

Odpowiedź:

Otrzymaliśmy dwa ciągi spełniające warunki zadania: $(8, 4, 2)$ oraz $(2, 4, 8)$ .

Przeczytaj

Sprawdź się