Animacja

Polecenie 1

Zapoznaj się z animacją dotyczącą wyznaczania równania obrazu okręgu w przesunięciu o wektor a następnie rozwiąż polecenia.

R1QWZ4jwdCSmN

Film dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DXgXyhb5K

Film nawiązujący do treści materiału dotyczącej przesunięcia okręgu o wektor.

Polecenie 2

Wyznacz współrzędne wektora, o który należy przesunąć okrąg o równaniu $x^{2} + y^{2} + 6 x + 2 y - 15 = 0$ , aby otrzymać okrąg o równaniu ${(x + 4)}^{2} + {(y + 5)}^{2} = 25$ .

Równanie okręgu $x^{2} + y^{2} + 6 x + 2 y - 15 = 0$ przekształcamy do postaci kanonicznej:

$x^{2} + 6 x + 9 - 9 + y^{2} + 2 y + 1 - 1 - 15 = 0$ .

Otrzymaliśmy równanie postaci ${(x + 3)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 25$ .

Okrąg o równaniu ${(x + 3)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 25$ ma środek w punkcie $O = (- 3, - 1)$ natomiast jego obraz o równaniu ${(x + 4)}^{2} + {(y + 5)}^{2} = 25$ ma środek w punkcie $O' = (- 4, - 5)$ .

Ponieważ $\vec{O O'} = [a^{'} - a, b^{'} - b] = [- 4 - (- 3), - 5 - (- 1)] = [- 1, - 4]$ , więc $\vec{u} = [- 1, - 4]$ .

Obrazem okręgu o równaniu $x^{2} + y^{2} + 6 x + 2 y - 15 = 0$ w przesunięciu o wektor $\vec{u} = [- 1, - 4]$ jest okrąg o równaniu ${(x + 4)}^{2} + {(y + 5)}^{2} = 25$ .

Polecenie 3

Okrąg $K'$ jest obrazem okręgu $K$ o równaniu ${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 9$ w przesunięciu o wektor $\vec{u} = [6, 8]$ . Określ wzajemne położenie okręgu oraz jego obrazu.

Aby określić wzajemne położenie okręgów musimy określić odległość między środkami tych okręgów. Odległość między środkami tych okręgów jest równa długości wektora $\vec{u}$ .

Jeżeli $\vec{u} = [p, q]$ to długość wektora $|\vec{u}| = \sqrt{p^{2} + q^{2}}$ , więc gdy $p = 6$ a $q = 8$ , to $|O O'| = |\vec{u}| = \sqrt{6^{2} + 8^{2}} = \sqrt{100} = 10$ .

Ponieważ promienie obu okręgów mają tę samą długość $r_{1} = r_{2} = r = 3$ .

Okręgi są rozłączne zewnętrznie.

Przeczytaj

Sprawdź się