Film samouczek

Niepewności pomiarów pośrednich

Polecenie 1

Obejrzyj film samouczek, w którym pokazujemy, w jaki sposób wyznacza się niepewność pomiaru objętości stalowego pręta mającego kształt walca. Zwróć uwagę na trzy kroki postępowania - są one uniwersalne.
Po obejrzeniu filmu wykonaj umieszczone poniżej polecenia, które pomogą Ci uporządkować zdobyte wiadomości.

R1dIuAe2v9R22

Źródło: Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

Polecenie 2

Zastanów się, w jaki sposób należałoby zmienić (lub uzupełnić) obliczenia wykonane w filmie samouczku, gdyby podczas pomiarów okazało się, że średnica pręta ma różną wartość w różnych jego miejscach?

W takiej sytuacji za wynik pomiaru długości średnicy należy przyjąć średnią arytmetyczną ze wszystkich wykonanych pomiarów:

$\overline{d}=\frac{1}{n}(d_1+d_2+\dots+d_n)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nd_i\ .$

Ponadto, niepewność standardową pomiaru średnicy $u(d)$ należy wyznaczyć z użyciem niepewności standardowej typu A (tzn. odchylenia standardowego od średniej z serii pomiarów) i niepewności standardowej typu B (która jest związana z rozdzielczością suwmiarki i już ją wyznaczyliśmy na filmie):

$u(d)=\sqrt{u_A^2(d)+u_B^2(d)}\ ,$

gdzie

$u_A(d)=\sqrt{\frac{1}{n(n-1)}\left((d_1-\overline{d})^2+\ldots+(d_n-\overline{d})^2\right)}=\sqrt{\frac{1}{n(n-1)}\sum_{i=1}^n(d_i-\overline{d})^2}\ ,$

$u_B(d)=\frac{\Delta d}{\sqrt{3}}.$

Wyznaczona w taki sposób niepewność pomiarowa jest nazywana niepewnością całkowitą (standardową). Możesz o tym przeczytać w e‑materiale pt. Niepewność całkowita.

Polecenie 3

Powtórz przedstawione w filmie samouczku obliczenia, przyjmując wartości liczby $\pi=3,14$ i $3,1416$ . W jaki sposób przybliżenie liczby $\pi$ wpływa na niepewność wykonanego pomiaru? Czy przyjęte na filmie przybliżenie $\pi=3,142$ jest rozsądne?

W kolejności zwiększającej się precyzji liczby $\pi$ wyniki pomiaru objętości pręta są następujące:

dla $\pi=3,14$ :
$V=46,31~(0,32)~\text{cm}^3,$
dla $\pi=3,142$ :
$V=46,34~(0,33)~\text{cm}^3,$
dla $\pi=3,1416$ :
$V=46,33~(0,33)~\text{cm}^3.$

Można łatwo sprawdzic, że przyjęcie kolejnego i dalszych przybliżeń $\pi$ nie poprawia wyniku pomiaru objętości i jego niepewności.

Powyższe zestawienie pokazuje, że dokładność stałych fizycznych wpływa na wyniki pomiarów. W analizowanym przypadku ten wpływ ujawnia się przede wszystkim w wartości mierzonej wielkości - obliczone wartości $V$ różnią się między sobą cyframi na drugim miejscu po przecinku. Powiesz zapewne: przesada! My odpowiemy: nie do końca! Możesz łatwo sprawdzić, że gdyby dziesięciokrotnie zmniejszyć niepewność graniczną każdego z pomiarów bezpośrednich (np. przyjmując $\Delta d=0,001~\text{cm}$ i $\Delta h=0,01~\text{cm}$ ), niepewność pomiaru objętości zmniejszyłaby się o taki sam czynnik, prowadząc do niewielkiego stopnia przekrycia się odcinków niepewności i uzasadnionych wątpliwości co do zgodności uzyskanych wyników:

dla $\pi=3,14$ :
$V=46,307~(0,032)~\text{cm}^3,$
dla $\pi=3,142$ :
$V=46,336~(0,033)~\text{cm}^3,$
dla $\pi=3,1416$ :
$V=46,330~(0,033)~\text{cm}^3.$

Przeczytaj

Sprawdź się

Niepewności pomiarów pośrednich