Energia kinetyczna bryły sztywnej w ruchu obrotowym
W tym miejscu przeanalizujesz co ma większą energię kinetyczną: kula czy walec, jeśli mają tę samą masę i prędkość kątową, a walec ma tę samą wysokość co kula.
Jest to zadanie podobne do opisanego w przykładzie w treści e‑materiału – ale teraz zamiast takiego samego promienia mamy taką samą wysokość (wynik jest odwrotny niż w przykładzie).
R4B1yX3NDpSlH
Zapoznaj się z audiodeskrypcją samouczka.
Zapoznaj się z audiodeskrypcją samouczka.
Polecenie 1
Wykonaj do tego filmu rysunek analogiczny do tego zaprezentowanego w przykładzie 2 w rozdziale „Przeczytaj”. Czy widzisz, dlaczego teraz kula ma większą energię kinetyczną?
R1GgP04qEYSlB
Rysunek pokazuje przekrój walca widziany z góry, pokazany w postaci okręgu narysowanego czarnym kolorem. Przez środek okręgu przechodzi pionowa przerywana linia. Za okręgiem pokazano poziomo ustawiony prostokąt, którego poziomy bok jest dłuższy niż pionowy. Długość poziomego boku prostokąta jest równa średnicy okręgu, a długość pionowego boku prostokąta jest krótsza od średnicy okręgu. Prostokąt znajduje się za okręgiem, a niewidoczne krawędzie narysowano w postaci czarnych przerywanych linii. Prawy pionowy bok prostokąta przedłużono przerywaną czarną linią. Obok, delikatnie po lewej narysowana jest druga pionowa przerywana linia równoległa do boku prostokąta. Odległość między tą linią a prawym, pionowym bokiem prostokąta oznaczono wielką literą grecką delta i wielką literą R. Nad okręgiem oznaczono jego promień jako odległość od przerywanej, pionowej linii biegnącej przez środek okręgu, a przedłużeniem prawego pionowego boku prostokąta.
Polecenie 1
Dlaczego moment bezwładności kuli będzie większy od momentu bezwładności walca?
Dzieje się tak, gdyż większa część kuli znajduje się w większej odległości od osi obrotu niż w przypadku walca.
Polecenie 2
Skoro wiesz już jak wygląda moment bezwładności jednorodnego walca względem jego osi symetrii (patrz rozdział „Przeczytaj”), zastanów się jak wygląda moment bezwładności jednorodnego walca względem osi prostopadłej do walca i przechodzącej przez jego środek?
Przyjmij, że wzór na moment bezwładności pręta (mającego masę m i długość l) względem osi przechodzącej przez jego koniec ma postać:
gdzie k jest współczynnikiem bezwymiarowym.
Zauważ, że moment bezwładności pręta względem osi przechodzącej przez środek masy można przedstawić jako sumę momentów bezwładności jego połówek względem osi przechodzących przez ich końce, czyli:
Zgodnie z twierdzeniem Steinera:
Po przyrównaniu prawych stron powyższych równości mamy:
Ostatecznie otrzymujemy wzór wyrażający moment bezwładności pręta względem osi przechodzącej przez środek masy, który wygląda następująco:
Polecenie 3
Moment bezwładności jednorodnej kuli względem dowolnej osi przechodzącej przez środek kuli jest już znany (patrz w rozdziale „Przeczytaj”). Ile wynosi moment bezwładności cienkiej, pustej w środku sfery względem dowolnej osi przechodzącej przez środek sfery?
Moment bezwładności liczymy względem osi. Powierzchnię sfery tniemy na współosiowe pierścienie o promieniu x i szerokości dx. Moment bezwładności pojedynczego pierścienia dI wynosi:
Wartość I znajdujemy przez całkowanie względem φphi w granicach od do πpi (stosujemy podstawienie cos φphi = u; - sin φphi dφphi = du) i znajdujemy dla sfery:
