Animacja 3D

Polecenie 1

Zapoznaj się z przykładami w animacji 3D, następnie wykonaj samodzielnie polecenia poniżej. Porównaj swoje rozwiązania z zaproponowanymi.

R19SOsxCTTuNl

Film nawiązujący do treści materiału dotycznącej zastosowania funkcji trygonometrycznych do obliczania miar kątów i odcinków w graniastosłupach.

Polecenie 2

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym z ostatniego zadania z animacji 3D, oblicz cosinus kąta nachylenia przekątnej do podstawy.

Z rozwiązania, które pojawia się w filmie wiemy, że $p = \sqrt{5} + 1$ i $p^{2} = 4 + H^{2}$ .

A zatem ${(\sqrt{5} + 1)}^{2} = 4 + H^{2}$ .

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia mamy $5 + 2 \sqrt{5} + 1 = 4 + H^{2}$ .

Czyli $H^{2} = 2 + 2 \sqrt{5}$ .

Obliczymy teraz kwadrat długości przekątnej graniastosłupa:

$2 + 2 \sqrt{5} + {(2 \sqrt{2})}^{2} = d^{2}$ . A stąd $2 + 2 \sqrt{5} + 8 = d^{2}$ .

Czyli $10 + 2 \sqrt{5} = d^{2}$ .

Otrzymujemy, że $\cos^{2} β = \frac{8}{10 + 2 \sqrt{5}} = \frac{4}{5 + \sqrt{5}} \approx 0, 5528$ , a stąd $\cos β \approx 0, 7435$ .

Polecenie 3

Oblicz miarę kąta pomiędzy przekątnymi sąsiednich ścian bocznych w graniastosłupie przedstawionym na poniższym rysunku.

RSodc1s5MDteO

Obliczymy długość przekątnej ściany bocznej z twierdzenia Pitagorasa:

$2^{2} + {(4 \sqrt{2})}^{2} = p^{2}$ . A stąd $p^{2} = 36$ i ostatecznie $p = 6$ .

Skorzystamy z twierdzenia cosinusów do obliczenia miary kąta $α$ .

$8 = 36 + 36 - 72 \cos α$

$72 \cos α = 64 | : 72$

$\cos α = \frac{8}{9} \approx 0, 8889$

A stąd $α \approx 27^{\circ}$ .

Przeczytaj