Animacja

Polecenie 1

Zapoznaj się z poniższą animacją, a następnie wykonaj następne polecenie.

RZ5ped1rA8xPF

Film dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DxN6zY4gR

Film nawiązujący do treści lekcji przedstawiający przykłady szeregów geometrycznych.

Polecenie 2

Na bokach $A B$ , $B C$ , $C D$ , $D A$ kwadratu $A B C D$ o boku długości $1$ , wyznaczamy punkty odpowiednio: $A_{1}$ , $B_{1}$ , $C_{1}$ , $D_{1}$ w taki sposób, że $\frac{|A A_{1}|}{|A B|} = \frac{|B B_{1}|}{|B C|} = \frac{|C C_{1}|}{|C D|} = \frac{|D D_{1}|}{|D A|} = a$ , gdzie $a$ jest pewną liczbą dodatnią mniejszą od $1$ . Na bokach $A_{1} B_{1}$ , $B_{1} C_{1}$ , $C_{1} D_{1}$ , $D_{1} A_{1}$ kwadratu $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ wyznaczamy punkty odpowiednio: $A_{2}$ , $B_{2}$ , $C_{2}$ , $D_{2}$ w taki sposób, że $\frac{|A_{1} A_{2}|}{|A_{1} B_{1}|} = \frac{|B_{1} B_{2}|}{|B_{1} C_{1}|} = \frac{|C_{1} C_{2}|}{|C_{1} D_{1}|} = \frac{|D_{1} D_{2}|}{|D_{1} A_{1}|} = a$ . Tak postępujemy w nieskończoność. Oblicz sumę pól tych wszystkich kwadratów.

Najpierw ustalimy związek między bokami kwadratów $A B C D$ i $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ .

R16kD5cMifcqX

Ilustracja przedstawia kwadrat ABCD, wewnątrz którego narysowano kwadrat A jeden B jeden C jeden D jeden w taki sposób, że wierzchołki mniejszego kwadratu znajdują się na bokach kwadratu ABCD: A jeden leży na boku AB, B jeden leży na boku BC, C jeden leży na boku CD, D jeden leży na boku AD. Podobnie w mniejszym trójkącie narysowano najmniej kwadracie narysowano trójkąt A dwa B dwa C dwa D dwa o wierzchołkach znajdujących się na bokach kwadratu A jeden B jeden C jeden D jeden. Wierzchołek A dwa leży na boku A jeden B jeden, wierzchołek B dwa leży na boku B jeden C jeden, wierzchołek C dwa leży na boku C jeden D jeden, wierzchołek D dwa leży na boku D jeden A jeden. Stosunki boków w tej konstrukcji opisane są w treści zadania.

Przeanalizujmy trójkąt $A A_{1} D_{1}$ : $|A A_{1}| = a$ , $|A D_{1}| = 1 - a$ , $∢ A_{1} A D_{1} = 90 °$ .

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, obliczamy długość odcinka $A_{1} D_{1}$

${|A_{1} D_{1}|}^{2} = {|A A_{1}|}^{2} + {|A D_{1}|}^{2}$

${|A_{1} D_{1}|}^{2} = a^{2} + {(1 - a)}^{2}$

${|A_{1} D_{1}|}^{2} = a^{2} + a^{2} - 2 a + 1$

${|A_{1} D_{1}|}^{2} = 2 a^{2} - 2 a + 1$

$|A_{1} D_{1}| = \sqrt{2 a^{2} - 2 a + 1}$

Zatem otrzymujemy

$\frac{|A_{1} D_{1}|}{|A B|} = \sqrt{2 a^{2} - 2 a + 1}$ .

Zatem długości boków kolejnych kwadratów tworzą ciąg geometryczny o ilorazie $q = \sqrt{2 a^{2} - 2 a + 1}$ .

Zatem suma pól jest równa

$1 + {(\sqrt{3 a^{2} - 3 a + 1})}^{2} + {(\sqrt{3 a^{2} - 3 a + 1})}^{4} + \dots =$

$= \frac{1}{1 - (2 a^{2} - 2 a + 1)} = \frac{1}{2 a - 2 a^{2}}$ .

Przeczytaj

Sprawdź się