Wydrukuj Dodaj do ulubionych Udostępnij materiał Zapisz jako PDF
Przykład 1

W tabeli przedstawione zostały średnie wyniki pomiarów temperatury powietrza w Warszawie w okresie od 5 do 11 stycznia.

TAB

Dzień miesiąca

5
6
7
8
9
10
11

Temperatura w °C

-3
2
0
1
-4
-1
2

Sporządźmy wykres tej funkcji.
Odczytajmy miejsce zerowe tej funkcji.
Wskażmy argumenty, dla których funkcja ta przyjmuje wartości dodatnie oraz wartości ujemne.

Przykład 2

Temperatura powietrza w Warszawie była równa 0°C w dniu 7 stycznia, czyli miejscem zerowym tej funkcji jest ten jeden argument.
Ponieważ dodatnia temperatura powietrza w Warszawie była 6 stycznia, 8 stycznia oraz 11 stycznia, to funkcja przyjmuje dla tych trzech argumentów wartości dodatnie.
Ponieważ ujemna temperatura powietrza w Warszawie była 5 stycznia, 9 stycznia, 10 stycznia, to funkcja przyjmuje dla tych trzech argumentów wartości ujemne.

Zapamiętaj!
  • Ox dzieli wykres funkcji tak, że każdy punkt wykresu, który leży powyżej osi Ox, ma współrzędne, z których druga jest dodatnia. Mówimy wtedy, że funkcja przyjmuje wartości dodatnie.

  • Podobnie każdy punkt wykresu, który leży poniżej osi Ox, ma współrzędne, z których druga jest ujemna. Mówimy wtedy, że funkcja przyjmuje wartości ujemne.

Przykład 3

Rozpatrzmy funkcję f określoną wzorem f(x)=3x+5. Obliczymy wartości tej funkcji dla argumentów ze zbioru -2, -123, 0,75, 7.

R1QqwGz3j7j9F1
Animacja
Przykład 4

Aby odczytać z wykresu funkcji, jaką wartość przyjmuje ona dla danego argumentu a, wystarczy narysować prostą równoległą do osi Oy, na której leżą wszystkie punkty, których pierwsza współrzędna jest równa a (o takiej prostej mówimy, że ma równanie x=a). Otrzymamy wtedy dokładnie jeden punkt przecięcia tej prostej z wykresem funkcji. Druga współrzędna tego punktu jest szukaną wartością.

RH9AgiYq81D8w1
Animacja
Przykład 5

W praktyce często analizujemy wykresy, szukając na nich argumentów, dla których funkcja osiąga pewne szczególne wartości (co było szerzej skomentowane w przykładach wstępnych). Istotną umiejętnością jest odczytanie z wykresu funkcji jej wartości najmniejszej i wartości największej, o ile da się takie wartości wyznaczyć.

R1EKVPcjg7zjn1
Animacja pokazuje jak poruszając się po wykresie funkcji odczytać najmniejszą i największą wartość funkcji dla danego argumentu.
Przykład 6

Aby odczytać z wykresu, czy i dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartość w, wystarczy dorysować prostą równoległą do osi Ox, na której leżą wszystkie punkty, których druga współrzędna jest równa w (o takiej prostej mówimy, że ma równanie y=w). Jeżeli taka prosta przecina wykres danej funkcji, to odczytując pierwszą współrzędną każdego z punktów przecięcia, wyznaczymy argumenty, dla których funkcja przyjmuje daną wartość w.

R14aZ00lALGqn1
Animacja.
Przykład 7

Odczytaj z wykresu funkcji f liczbę rozwiązań równania f(x)=m.

R1BuPYUd1Ric11
Animacja pokazuje jak z wykresu odczytać liczbę rozwiązań równania dla zadanej wartości m.
Przykład 8

Dany jest wykres funkcji f.

RbjVhIXL0uZFQ1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
  1. Odczytajmy miejsca zerowe, dziedzinę i zbiór wartości tej funkcji.

  2. Wskażmy argumenty, dla których funkcja f przyjmuje wartości dodatnie i ujemne.

Przykład 9

Dany jest wykres funkcji f.
Obserwujmy, jak przy zmianie położenia punktu na wykresie zmieniają się wartości tej funkcji dla poszczególnych argumentów.

  1. RB37UgEEIv31v1
    Animacja pokazuje wykres funkcji rosnącej.

  2. R1IQowqlswwn11
    Animacja pokazuje wykres funkcji malejącej.

  3. RCH82102aHX2t1
    Animacja pokazuje wykres funkcji stałej.

Funkcja rosnąca
Definicja: Funkcja rosnąca

Funkcję nazywamy rosnącą, jeżeli wraz ze wzrostem argumentów rosną wartości funkcji.

Funkcja malejąca
Definicja: Funkcja malejąca

Funkcję nazywamy malejącą, jeżeli wraz ze wzrostem argumentów maleją wartości funkcji.

Funkcja stała
Definicja: Funkcja stała

Funkcję nazywamy stałą, jeżeli wraz ze wzrostem argumentów wartość funkcji pozostaje stała.

A
Ćwiczenie 1

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f.

RdC67xv9dHgNt1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Jest to funkcja:

Rov8681DeuEOU
A
Ćwiczenie 2

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f.

R196GrXbvOqq71
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Jest to funkcja:

RnrIJDwNzEMmZ
A
Ćwiczenie 3

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f.

R1Mgf2vr3gJ421
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Jest to funkcja

RQfCTCwoZZLp8
A
Ćwiczenie 4

Wskaż wykres funkcji rosnącej, której dziedziną jest zbiór {-3, -2, -1,0,1,2,3}.

RILT0AIJyhfjJ
Wybierz dowolne angielskie słówko ze słowniczka i zapytaj kolegę o jego znaczenie.
A
Ćwiczenie 5

Wskaż wykres funkcji malejącej, której dziedziną jest zbiór {-2, -1,1,2,3,4}.

R14aRTGgQ0g3j
Wysłuchaj nagrania abstraktu i zastanów się, czego jeszcze chciałbyś się dowiedzieć w związku z tematem lekcji.
A
Ćwiczenie 6

Wskaż wykres funkcji rosnącej.

R1bKq8US9OfWK
Wysłuchaj nagrań słówek w słowniczku i naucz się ich prawidłowej wymowy.
A
Ćwiczenie 7

Wskaż wykres funkcji malejącej.

R1ZXHOsuJY6aV
Wysłuchaj nagrania abstraktu i zastanów się, czego jeszcze chciałbyś się dowiedzieć w związku z tematem lekcji.
A
Ćwiczenie 8

Wskaż wykres funkcji, która jest rosnąca w zbiorze argumentów x spełniających warunek -1x3.

R1Ky6OaM7XhcV
Wysłuchaj nagrania abstraktu, ułóż do niego pytania i zadaj je koledze.
iDBOr8E2e8_d5e662
A
Ćwiczenie 9

Wskaż wykres funkcji, która jest malejąca tylko dla argumentów x spełniających warunek -2x<4.

R1KxIMC2OtoEX
Wybierz jedno nowe słowo poznane podczas dzisiejszej lekcji i ułóż z nim zdanie.
A
Ćwiczenie 10

Wskaż wykres funkcji, która jest stała w zbiorach argumentów x spełniających warunki  -3x-2 oraz 0x1.

RXcjcbVivlFcw
Wysłuchaj nagrań słówek w słowniczku i naucz się ich prawidłowej wymowy.
A
Ćwiczenie 11

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji g.

R1QxoNRfLPXhv1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Funkcja g jest malejąca w zbiorze argumentów x spełniających warunek:

R1WKsxNRXWkBe
A
Ćwiczenie 12

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji h.

R1dDT0cwaVBqN1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Funkcja h jest rosnąca w zbiorach argumentów x spełniających warunki:

RB3MBvDkpyUzr
A
Ćwiczenie 13

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji k.

R1WImKQFdTAPu1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Funkcja k jest stała w zbiorach argumentów x spełniających warunki:

R1YteBBNuv7ip
classicmobile
Ćwiczenie 14

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f.

R10HITNRFnX4q1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R1ZWCwirzomUy
static
A
Ćwiczenie 15

Wskaż wykres funkcji, która dla każdego argumentu -2<x<1 przyjmuje wartości ujemne.

RlvHzNUN3iRBc
Wysłuchaj nagrania abstraktu i zastanów się, czego jeszcze chciałbyś się dowiedzieć w związku z tematem lekcji.
A
Ćwiczenie 16

Wskaż wykres funkcji, która dla każdego argumentu -5<x<-3 przyjmuje wartości dodatnie.

R12WLb6wpKCU0
Wysłuchaj nagrania abstraktu i zastanów się, czego jeszcze chciałbyś się dowiedzieć w związku z tematem lekcji.
A
Ćwiczenie 17

Wskaż wykres funkcji, która dla każdego argumentu -3x4 przyjmuje wartości nieujemne.

RAN5vSv77YLKg
Wysłuchaj nagrania abstraktu i zastanów się, czego jeszcze chciałbyś się dowiedzieć w związku z tematem lekcji.
A
Ćwiczenie 18

Wskaż wykres funkcji, która dla każdego argumentu -2x4 przyjmuje wartości niedodatnie.

R1AhGe5LU3dpc
Wysłuchaj nagrania abstraktu i zastanów się, czego jeszcze chciałbyś się dowiedzieć w związku z tematem lekcji.
A
Ćwiczenie 19

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji h.

RZd0KmsrrdMwg1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Funkcja h przyjmuje wartości dodatnie dla każdego argumentu x, takiego że:

R6jpeVtonbhrp
A
Ćwiczenie 20

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji k.

Raic7NaUl6JQu1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Funkcja k przyjmuje wartości ujemne dla każdego argumentu x spełniającego warunek:

R18sfPC1H5HQY
classicmobile
Ćwiczenie 21

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f.

RjMaA1iUZCI6k1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Oceń, czy podane zdania są prawdziwe, czy fałszywe.

RlCL4uUy7cwLT
static
A
Ćwiczenie 22

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji h.

R1drAyvWYrYah1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Odczytaj z wykresu i zapisz:

  1. dziedzinę funkcji h,

  2. zbiór wartości funkcji h,

  3. miejsca zerowe funkcji h,

  4. zbiór argumentów, w którym funkcja h jest rosnąca,

  5. zbiór argumentów, w którym funkcja h jest malejąca,

  6. dla jakich argumentów funkcja h jest stała,

  7. dla jakich argumentów funkcja h przyjmuje wartości dodatnie,

  8. dla jakich argumentów funkcja h przyjmuje wartości ujemne,

  9. największą i najmniejszą wartość funkcji h.

A
Ćwiczenie 23

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji f.

RoMzHfng0uj6q1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Odczytaj z wykresu i zapisz:

  1. dziedzinę funkcji f,

  2. zbiór wartości funkcji f,

  3. miejsca zerowe funkcji f,

  4. zbiór argumentów, w którym funkcja f jest rosnąca,

  5. zbiór argumentów, w którym funkcja f jest malejąca,

  6. dla jakich argumentów funkcja f przyjmuje wartości dodatnie,

  7. dla jakich argumentów funkcja f przyjmuje wartości ujemne,

  8. największą i najmniejszą wartość funkcji f.

B
Ćwiczenie 24

Narysuj wykres funkcji określonej w zbiorze liczb naturalnych mniejszych od 7, wiedząc, że:

  1. funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla argumentów większych od 4,

  2. funkcja jest rosnąca,

  3. funkcja ma jedno miejsce zerowe,

  4. największa wartość funkcji wynosi 3.

B
Ćwiczenie 25

Narysuj wykres funkcji określonej w zbiorze {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}, wiedząc, że:

  1. funkcja przyjmuje wartość ujemną dla jednego argumentu,

  2. funkcja ma dwa miejsca zerowe,

  3. najmniejsza wartość funkcji wynosi -2.

B
Ćwiczenie 26

Narysuj wykres funkcji określonej dla każdego argumentu -4<x5, wiedząc, że:

  1. funkcja jest rosnąca w zbiorze argumentów x, takich że 1x5,

  2. funkcja jest malejąca w zbiorze argumentów x, takich że-4<x1,

  3. punkt (1, -3) należy do wykresu funkcji.

B
Ćwiczenie 27

Narysuj wykres funkcji, wiedząc, że:

  1. funkcja przyjmuje wartości ujemne dla każdego argumentu -4<x<3,

  2. funkcja jest rosnąca w zbiorze argumentów x spełniających warunek 1x5,

  3. funkcja ma jedno miejsce zerowe.

B
Ćwiczenie 28

Narysuj wykres funkcji, wiedząc, że:

  1. funkcja jest stała w zbiorze argumentów x, takich że-3x-1,

  2. funkcja nie ma wartości największej,

  3. funkcja ma dwa miejsca zerowe,

  4. funkcja jest malejąca w zbiorze argumentów x, takich że -6<x-3.