Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się, aby dodać do ulubionych Zaloguj się, aby skopiować i edytować materiał Zaloguj się, aby udostępnić materiał Zaloguj się, aby dodać całą stronę do teczki
Oceń projekt

Galeria zdjęć interaktywnych

Polecenie 1

Zapoznaj się z galerią zdjęć interaktywnych. Spróbuj najpierw samodzielnie rozwiązać zapisany tam przykład, a następnie porównaj z rozwiązaniem.

RKryynb54Bbeo
Ilustracja pierwsza. Wykażemy, że ciąg an określony dla n∈ℕ+ wzorem ogólnym an=nn-7-8 nie jest monotoniczny. Rozwiązanie. Zapisujemy wzór ciągu w prostszej postaci. an=n2-7n-8
R12H7Z0iCXHra
Ilustracja druga. Wyznaczamy wyraz an+1. Aby otrzymać wzór na ten wyraz, wystarczy podstawić pod n wyraz n+1. an=n+12-7n+1-8 Wymnażamy nawiasy. an=n2+2n+1-7n-7-8 Upraszamy równanie poprzez zredukowanie wyrazów podobnych i otrzymujemy szukany wzór. an=n2-5n-14
RkQOVECSBTnmA
Ilustracja trzecia. Obliczamy różnicę pomiędzy kolejnymi wyrazami ciągu an. an+1-an=n2-5n-14-n2+7n+8 Upraszczamy wyrazy podobne, otrzymując różnicę dwóch kolejnych wyrazów ciągu. an+1-an=2n-6
RKEsJNk01AL6Z
Ilustracja czwarta. Badamy znak różnicy między kolejnymi wyrazami ciągu. an+1-an<0 Podstawiamy różnicę do nierówności. 2n-6<0 Zatem mamy n<3. Więc n∈1;2. Wniosek: różnica między kolejnymi wyrazami ciągu jest ujemna dla n<3., 2. {audio}Nierówność an+1-an<0 jest spełniona tylko dla n=1 i n=2. Zatem ciąg nie jest malejący dla n∈ℕ+.
RAh8MfDf4xndb
Ilustracja piąta. Różnica między kolejnymi wyrazami ciągu jest dodatnia dla n>3. Nasze kroki będą analogiczne jak poprzednio. an+1-an>0, więc 2n-6>0. Stąd mamy n>3. Zatem zbiór rozwiązań jest w tym przypadku następujący: n∈4;5;;.... Nierówność an+1-an>0 jest spełniona dla n>3. Zatem ciąg nie jest rosnący dla n∈ℕ+. Wykazaliśmy więc, że ciąg an nie jest monotoniczny.
Polecenie 2

Wykaż, że ciąg an określony wzorem

{a1=2an+1=−3an−1,n≥1

nie jest monotoniczny.

Przeczytaj
Sprawdź się