Przeczytaj
Sprawdź się
Galeria zdjęć interaktywnych
Polecenie 1
Zapoznaj się z przykładami wyznaczania miar rozproszenia pokazanymi w galerii zdjęć interaktywnych. Zinterpretuj w każdym przypadku uzyskane wyniki.
Przykład jeden. Ilustracja zawiera opis ćwiczenia.
Uczniowie oceniali, w skali od jeden do dziesięć, prezentacje przygotowane przez dwie grupy. Tabelka zawiera wystawione oceny.
Pierwszy rząd, pola po kolei: Grupa jeden, jeden, dwa, pięć, pięć, osiem, dziewięć.
Drugi rząd, pola po kolei: Grupa dwa, cztery, pięć, pięć, pięć, pięć, sześć.
Grupa 1 średnia arytmetyczna równa się otwarcie nawiasu jeden dodać dwa dodać pięć dodać pięć dodać osiem dodać dziewięć zamknięcie nawiasu podzielone przez sześć równa się pięć.
Grupa 2 średnia arytmetyczna równa się otwarcie nawiasu dwa dodać cztery dodać pięć dodać pięć dodać pięć dodać pięć dodać sześć zamkniecie nawiasu podzielone przez sześć równa się pięć.
Zauważ, że średnia ocen w każdym przypadku jest taka sama.
Wyznaczamy da każdej grupy danych rozstęp, czyli w tym wypadku różnicę miedzy oceną najwyższą a najniższą.
Grupa jeden rozstęp równa się dziewięć odjąć jeden równa się osiem.
Grupa dwa rozstęp równa się sześć odjąć cztery równa się dwa.
Wniosek: Oceny, które uzyskała grupa dwa bardziej skupione są wokół średniej.
Oceny wystawione w grupie jeden są bardziej rozproszone.
Przykład jeden. Ilustracja zawiera opis ćwiczenia.
Uczniowie oceniali, w skali od jeden do dziesięć, prezentacje przygotowane przez dwie grupy. Tabelka zawiera wystawione oceny.
Pierwszy rząd, pola po kolei: Grupa jeden, jeden, dwa, pięć, pięć, osiem, dziewięć.
Drugi rząd, pola po kolei: Grupa dwa, cztery, pięć, pięć, pięć, pięć, sześć.
Grupa 1 średnia arytmetyczna równa się otwarcie nawiasu jeden dodać dwa dodać pięć dodać pięć dodać osiem dodać dziewięć zamknięcie nawiasu podzielone przez sześć równa się pięć.
Grupa 2 średnia arytmetyczna równa się otwarcie nawiasu dwa dodać cztery dodać pięć dodać pięć dodać pięć dodać pięć dodać sześć zamkniecie nawiasu podzielone przez sześć równa się pięć.
Zauważ, że średnia ocen w każdym przypadku jest taka sama.
Wyznaczamy da każdej grupy danych rozstęp, czyli w tym wypadku różnicę miedzy oceną najwyższą a najniższą.
Grupa jeden rozstęp równa się dziewięć odjąć jeden równa się osiem.
Grupa dwa rozstęp równa się sześć odjąć cztery równa się dwa.
Wniosek: Oceny, które uzyskała grupa dwa bardziej skupione są wokół średniej.
Oceny wystawione w grupie jeden są bardziej rozproszone.Przykład dwa. Ilustracja zawiera opis ćwiczenia.
Obliczymy odchylenie przeciętne dla zestawu danych zapisanych w tabeli liczebności.
Rząd pierwszy, pola w tabeli po kolei: x i, dwa, cztery, dziesięć.
Rząd drugi, pola w tabeli po kolei: n i, siedem, dziewięć, cztery.
Opis jeden: Obliczamy ile jest wszystkich obserwacji.
Opis dwa: Średnia arytmetyczna. Obliczamy średnią arytmetyczną. Średnia arytmetyczna równa się otwarcie nawiasu dwa razy siedem dodać cztery razy dziewięć dodać dziesięć razy cztery zamknięcie nawiasu podzielić przez dwadzieścia równa się dziewięćdziesiąt podzielone przez dwadzieścia równa się cztery i pół.
Opis trzy: Odchylenie od średniej. Dla podanych wyników obliczamy odchylenie od średniej.
Wartość bezwzględna z x jeden odjąć średnia arytmetyczna x zamkniecie wartości bezwzględnej równa się wartość bezwzględna z dwa odjąć cztery przecinek pięć zamkniecie wartości bezwzględnej równa się dwa przecinek pięć.
Wartość bezwzględna z x dwa odjąć średnia arytmetyczna x zamkniecie wartości bezwzględnej równa się wartość bezwzględna z cztery odjąć cztery przecinek pięć zamkniecie wartości bezwzględnej równa się zero przecinek pięć.
Wartość bezwzględna z x trzy odjąć średnia arytmetyczna x zamkniecie wartości bezwzględnej równa się wartość bezwzględna z dziesięć odjąć cztery przecinek pięć zamkniecie wartości bezwzględnej równa się pięć przecinek pięć.
Przykład dwa. Ilustracja zawiera opis ćwiczenia.
Obliczymy odchylenie przeciętne dla zestawu danych zapisanych w tabeli liczebności.
Rząd pierwszy, pola w tabeli po kolei: x i, dwa, cztery, dziesięć.
Rząd drugi, pola w tabeli po kolei: n i, siedem, dziewięć, cztery.
Opis jeden: Obliczamy ile jest wszystkich obserwacji.
Opis dwa: Średnia arytmetyczna. Obliczamy średnią arytmetyczną. Średnia arytmetyczna równa się otwarcie nawiasu dwa razy siedem dodać cztery razy dziewięć dodać dziesięć razy cztery zamknięcie nawiasu podzielić przez dwadzieścia równa się dziewięćdziesiąt podzielone przez dwadzieścia równa się cztery i pół.
Opis trzy: Odchylenie od średniej. Dla podanych wyników obliczamy odchylenie od średniej.
Wartość bezwzględna z x jeden odjąć średnia arytmetyczna x zamkniecie wartości bezwzględnej równa się wartość bezwzględna z dwa odjąć cztery przecinek pięć zamkniecie wartości bezwzględnej równa się dwa przecinek pięć.
Wartość bezwzględna z x dwa odjąć średnia arytmetyczna x zamkniecie wartości bezwzględnej równa się wartość bezwzględna z cztery odjąć cztery przecinek pięć zamkniecie wartości bezwzględnej równa się zero przecinek pięć.
Wartość bezwzględna z x trzy odjąć średnia arytmetyczna x zamkniecie wartości bezwzględnej równa się wartość bezwzględna z dziesięć odjąć cztery przecinek pięć zamkniecie wartości bezwzględnej równa się pięć przecinek pięć.Przykład dwa.
Opis jeden: Odchylenie od przeciętnej. Obliczamy odchylenie od przeciętnej.
D równa się wartość bezwzględna z x jeden odjąć średnia arytmetyczna x zamkniecie wartości bezwzględnej dodać wartość bezwzględna z x dwa odjąć średnia arytmetyczna x zamkniecie wartości bezwzględnej dodać trzykropek dodać wartość bezwzględna z x n odjąć średnia arytmetyczna x zamkniecie wartości bezwzględnej, podzielone przez n.
D równa się siedem razy dwa przecinek pięć dodać dziewięć razy zero przecinek pięć dodać cztery razy pięć przecinek pięć, podzielone przez dwadzieścia.
D równa się siedemnaście przecinek pięć dodać cztery przecinek pięć dodać dwadzieścia dwa, podzielone przez dwadzieścia.
D równa się czterdzieści cztery podzielone przez dwadzieścia równa się dwa przecinek dwa.
Odchylenie od przeciętnej w tym zestawie danych jest równe dwa przecinek dwa.
Przykład dwa.
Opis jeden: Odchylenie od przeciętnej. Obliczamy odchylenie od przeciętnej.
D równa się wartość bezwzględna z x jeden odjąć średnia arytmetyczna x zamkniecie wartości bezwzględnej dodać wartość bezwzględna z x dwa odjąć średnia arytmetyczna x zamkniecie wartości bezwzględnej dodać trzykropek dodać wartość bezwzględna z x n odjąć średnia arytmetyczna x zamkniecie wartości bezwzględnej, podzielone przez n.
D równa się siedem razy dwa przecinek pięć dodać dziewięć razy zero przecinek pięć dodać cztery razy pięć przecinek pięć, podzielone przez dwadzieścia.
D równa się siedemnaście przecinek pięć dodać cztery przecinek pięć dodać dwadzieścia dwa, podzielone przez dwadzieścia.
D równa się czterdzieści cztery podzielone przez dwadzieścia równa się dwa przecinek dwa.
Odchylenie od przeciętnej w tym zestawie danych jest równe dwa przecinek dwa.Przykład trzy. Ilustracja zawiera ćwiczenie.
Cztery osoby zapytano o liczbę wysłanych dzisiaj SMS-ów.
Oto jaki uzyskano wyniki: siedem, dwanaście, osiem, trzynaście.
Obliczymy wariancję uzyskanych danych.
Opis jeden: Średnia arytmetyczna. Najpierw obliczamy średnią arytmetyczną liczb wysłanych SMS-ów.
Średnia arytmetyczna x równa się siedem dodać dwanaście dodać osiem dodać trzynaście, podzielone przez cztery równa się czterdzieści podzielone przez cztery równa się dziesięć.
Opis dwa: Wariancja. Aby obliczyć wariancję, skorzystamy ze wzoru. Podano wzór na wariancję.
Wariancja równa się otwarcie nawiasu x jeden odjąć średnia arytmetyczna x zamknięcie nawiasu do potęgi drugiej dodać otwarcie nawiasu x dwa odjąć średnia arytmetyczna x zamknięcie nawiasu do potęgi drugiej dodać trzykropek dodać otwarcie nawiasu x od x odjąć średnia arytmetyczna x zamknięcie nawiasu do potęgi drugiej, całość podzielona przez n.
Gdzie: n jest równe cztery, x jeden jest równe 7, x dwa równa się dwanaście, x trzy równa się dwanaście, x cztery równa się trzynaście.
Przykład trzy. Ilustracja zawiera ćwiczenie.
Cztery osoby zapytano o liczbę wysłanych dzisiaj SMS-ów.
Oto jaki uzyskano wyniki: siedem, dwanaście, osiem, trzynaście.
Obliczymy wariancję uzyskanych danych.
Opis jeden: Średnia arytmetyczna. Najpierw obliczamy średnią arytmetyczną liczb wysłanych SMS-ów.
Średnia arytmetyczna x równa się siedem dodać dwanaście dodać osiem dodać trzynaście, podzielone przez cztery równa się czterdzieści podzielone przez cztery równa się dziesięć.
Opis dwa: Wariancja. Aby obliczyć wariancję, skorzystamy ze wzoru. Podano wzór na wariancję.
Wariancja równa się otwarcie nawiasu x jeden odjąć średnia arytmetyczna x zamknięcie nawiasu do potęgi drugiej dodać otwarcie nawiasu x dwa odjąć średnia arytmetyczna x zamknięcie nawiasu do potęgi drugiej dodać trzykropek dodać otwarcie nawiasu x od x odjąć średnia arytmetyczna x zamknięcie nawiasu do potęgi drugiej, całość podzielona przez n.
Gdzie: n jest równe cztery, x jeden jest równe 7, x dwa równa się dwanaście, x trzy równa się dwanaście, x cztery równa się trzynaście.Przykład trzy.
Opis jeden: Wariancja. Podstawiamy dane do wzoru i obliczamy.
Wariancja równa się otwarcie nawiasu siedem odjąć dziesięć zamkniecie nawiasu do potęgi drugiej dodać otwarcie nawiasu dwanaście odjąć dziesięć zamkniecie nawiasu do potęgi drugiej otwarcie nawiasu osiem odjąć dziesięć zamkniecie nawiasu do potęgi drugiej dodać otwarcie nawiasu trzynaście odjąć dziesięć zamkniecie nawiasu do potęgi drugiej, podzielić wszystko przez cztery.
Wariancja równa się otwarcie nawiasu minus trzy zamknięcie nawiasu do potęgi drugiej dodać dwa do potęgi drugiej dodać otwarcie nawiasu minus dwa zamknięcie nawiasu do potęgi drugiej dodać trzy do potęgi drugiej, podzielić wszystko przez cztery.
Wariancja równa się dziewięć dodać cztery dodać cztery dodać dziewięć, wszystko podzielone przez cztery, równa się dwadzieścia sześć podzielone przez cztery równa się sześć przecinek pięć.
Wariancja liczby SMS-ów jest równa sześć przecinek pięć.
Przykład trzy.
Opis jeden: Wariancja. Podstawiamy dane do wzoru i obliczamy.
Wariancja równa się otwarcie nawiasu siedem odjąć dziesięć zamkniecie nawiasu do potęgi drugiej dodać otwarcie nawiasu dwanaście odjąć dziesięć zamkniecie nawiasu do potęgi drugiej otwarcie nawiasu osiem odjąć dziesięć zamkniecie nawiasu do potęgi drugiej dodać otwarcie nawiasu trzynaście odjąć dziesięć zamkniecie nawiasu do potęgi drugiej, podzielić wszystko przez cztery.
Wariancja równa się otwarcie nawiasu minus trzy zamknięcie nawiasu do potęgi drugiej dodać dwa do potęgi drugiej dodać otwarcie nawiasu minus dwa zamknięcie nawiasu do potęgi drugiej dodać trzy do potęgi drugiej, podzielić wszystko przez cztery.
Wariancja równa się dziewięć dodać cztery dodać cztery dodać dziewięć, wszystko podzielone przez cztery, równa się dwadzieścia sześć podzielone przez cztery równa się sześć przecinek pięć.
Wariancja liczby SMS-ów jest równa sześć przecinek pięć.Zapoznaj się z poniższymi przykładami wyznaczania miar rozproszenia. Zinterpretuj w każdym przypadku uzyskane wyniki.
Przykład 1
Uczniowie oceniali w skali 1 do 10 prezentacje przygotowane przez dwie grupy. Wystawione oceny dla grupy pierwszej to: 1, 2, 5, 5, 8, 9. Wystawione oceny dla grupy drugiej to: 4, 5, 5, 5, 5, 6. Obliczymy średnią dla obu grup. Grupa pierwsza:
.
Grupa druga:
.
Zauważ, że średnia ocen w każdym przypadku jest taka sama. Teraz wyznaczymy dla każdej grupy danych rozstęp, czyli w tym wypadku różnicę między oceną najwyższą a najniższą. Grupa pierwsza:
.
Grupa druga: .
Wniosek:
Oceny, które uzyskała grupa druga bardziej skupione są wokół średniej. > > Oceny wystawione grupie pierwszej są bardziej rozproszone.
Przykład 2
Obliczymy odchylenie przeciętne dla podanego zestawu danych. Wartości dla to: 2, 4, 10.
Wartości dla to: 7, 9, 4.
Najpierw obliczamy, ile jest wszystkich obserwacji.
Następnie obliczamy średnią arytmetyczną.
Teraz dla podanych wyników obliczamy odchylenie od średniej.
W ostatnim kroku obliczamy odchylenie od przeciętnej, korzystając ze wzoru:
.
Obliczamy.
Odchylenie od przeciętnej w tym zestawie danych jest równe .
Przykład 3
Cztery osoby zapytano o liczbę wysłanych dzisiaj sms‑ów. Uzyskano następujące wyniki: 7, 12, 8, 13. Obliczymy wariancję uzyskanych danych. Najpierw liczymy średnią arytmetyczną liczb wysłanych sms‑ów.
Aby obliczyć wariancję, skorzystamy ze wzoru: ,
gdzie oraz , , , .
Podstawiamy dane do wzoru i obliczamy.
Wariancja liczby wysłanych sms‑ów jest równa .
Polecenie 2
Dla zestawu danych: , , , , , oblicz rozstęp, średnią arytmetyczną, odchylenie przeciętne, wariancję.
Rozstęp:
Średnia:
Odchylenie przeciętne:
Wariancja: