Galeria. Ilustracja jeden. $k·\overrightarrow{v}=k·[a,b]=[k·a,k·b]$
$\overrightarrow{u}\pm \overrightarrow{v}=[a,b]\pm [c,d]=[a\pm c,b\pm d]$. Przykład jeden. Wyznaczymy wektor

Ilustracja dwa. Kombinacją liniową wektorów u i v o współczynnikach a, b nazywamy wektor $a\overrightarrow{u}+b\overrightarrow{v}$. Przykład dwa. Przedstawmy wektor o współrzędnych $\left[4;-5\right]$ jako kombinację liniową wektorów o współrzędnych $\left[1;2\right]$ i $\left[-2;1\right]$. $\left[4;-5\right] = a\left[1;2\right] + b\left[-2;1\right]$. Wymnażamy współczynniki i dodajemy. Otrzymujemy $\left[4;-5\right] = \left[a - 2b; 2a + b\right]$. Mamy dwie niewiadome i jedną wiadomą, tworzymy układ równań: $\left\{\begin{array}{l}a - 2b = 4\\ 2a + b = -5\end{array}\right.$. Mnożymy pierwsze równanie obustronnie przez dwa. Otrzymujemy $\left\{\begin{array}{l}2a - 4b = 8\\ 2a + b = -5\end{array}\right.$, po pomnożeniu drugiego równania prze minus 1, możemy dodać równania stronami, wtedy $-5b = 13$, czyli $b = -\frac{13}{5}$. Obliczamy a: $a = 4 + 2b = 4 +\hspace{0.17em}2 · \left(-\frac{13}{5}\right) = 4 - \frac{26}{5} = -\frac{6}{5}$. Ostatecznie odpowiedź to: $[4,-5]=-\frac{6}{5}·[1,2]-\frac{13}{5}·[-2,1]$

Ilustracja trzy. Przykład trzy. Wyznaczmy współrzędne punktu $S = \left(x;y\right)$, który dzieli odcinek o końcach $A = \left(-1;-2\right)$, $B = \left(4;3\right)$ w stosunku jeden do dwóch licząc od punktu A. Rozwiązanie. Wektor $\overrightarrow{AS }= \frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$. Zatem $\left[x + 1; y + 2\right] = \frac{1}{3}\left[4 + 1; 3\hspace{0.17em}+ 2\right]$. Tworzymy układ równań: $\left\{\begin{array}{l}x + 1 = \frac{5}{3}\\ y + 2 = \frac{5}{3}\end{array}\right.$. Otrzymujemy odpowiedź: punkt $S$ ma współrzędne $\left(\frac{2}{3},-\frac{1}{3}\right)$.

Ilustracja cztery. Jeżeli dane są współrzędne wektorów u i v, to iloczyn skalarny wyliczamy ze wzoru: $\overrightarrow{u}=[a,b],\overrightarrow{v}=[c,d]$
$\overrightarrow{u}\circ \overrightarrow{v}=[a,b]\circ [c,d]=ac+bd$. Przykład cztery. Wyznaczmy iloczyn skalarny wektorów $\overrightarrow{u}=\left[-1;-2\right]$, $\overrightarrow{v}=\left[-3;4\right]$. Rozwiązanie. $\overrightarrow{u} \circ \overrightarrow{v} = \left[-1;-2\right] \circ \left[-3;4\right] = \left(-1\right)\left(-3\right) + \left(-2\right)·4 =3 - 8 = -5$

Ilustracja pięć. Iloczyn skalarny u i v wektorów, to liczba skalar, obliczany ze wzoru: $\overrightarrow{u}\circ \overrightarrow{v}=\left|\overrightarrow{u}\right|·\left|\overrightarrow{v}\right|·\cos \sphericalangle \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$. Przykład pięć. Wyznaczmy cosinus kąta pomiędzy wektorami $\overrightarrow{u}= \left[-1;-2\right]$ i $\overrightarrow{v}= \left[-3;4\right]$. Rozwiązanie. Z poprzedniej ilustracji wiadomo, że iloczyn skalarny tych wektorów wynosi -5, liczymy cosinus: $\overrightarrow{u}\circ \overrightarrow{v} = \left|\overrightarrow{u}\right|·\left|\overrightarrow{v}\right|·\cos \left(\overrightarrow{u};\overrightarrow{v}\right) = \sqrt{5}·5·\cos \left(\overrightarrow{u};\overrightarrow{v}\right) = -5$. Czyli, $\cos \left(\overrightarrow{u};\overrightarrow{v}\right) = -\frac{5}{5\sqrt{5}} = -\frac{\sqrt{5}}{5}$.