Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się, aby dodać do ulubionych Zaloguj się, aby skopiować i edytować materiał Zaloguj się, aby udostępnić materiał Zaloguj się, aby dodać całą stronę do teczki
Oceń projekt

Galeria zdjęć interaktywnych

Polecenie 1

W poniższej galerii przedstawiono sposób na sprawdzenie, czy funkcja dana dwoma różnymi wzorami na dwóch różnych przedziałach posiada w danym punkcie granicę. Zapoznaj się z przedstawioną metodą, a następnie wykonaj zamieszczone poniżej polecenia.

R19OuAz8lmwtR
Ilustracja pierwsza. Sprawdźmy, czy funkcja dana wzorem fx=x2+2, dla x≥12x+1, dla x<1 posiada granicę w punkcie x0=1. Komentarz: Zauważmy, że funkcja f jest określona na lewo oraz na prawo od 1 różnymi wzorami. W związku z tym konieczne będzie skorzystanie z granic jednostronnych.
R1czreFOxVGOX
Ilustracja druga. Szkicujemy wykres funkcji. Fragment wykresu dla x<1 to ukośna półprosta o początku w zamalowanym punkcie 1;3 przechodząca między innymi przez punkt 0;1. Fragment wykresu dla x≥1 jest prawym ramieniem paraboli skierowanym do góry o wierzchołku 1;3. Zauważmy, że w punkcie x0=1 fragmenty wykresu "łączą się", co pozwala przypuszczać, że funkcja f posiada w tym punkcie granicę.
RN5Kd8xOhUl5C
Ilustracja trzecia. Obliczamy granicę lewostronną funkcji f w punkcie x0=1. Mamy więc limx→1-fx= Ponieważ dążymy do 1 z lewej strony, więc wykorzystujemy wzór dla x<1. =limx→1-2x+1= Granicę możemy obliczyć, podstawiając w miejsce x =2·1+1=3 liczbę 1.
R1BUwQs06OVA3
Ilustracja czwarta. Obliczamy granicę prawostronną funkcji f w punkcie x0=1. limx→1+fx= Ponieważ dążymy do 1 z prawej strony, więc wykorzystujemy wzór dla x≥1. =limx→1+x2+2= W tym przypadku granicę również możemy obliczyć, podstawiając w miejsce x liczbę 1. =12+2=3
R19WbxlPkrLvx
Ilustracja piąta. Ponieważ obie granice jednostronne są równe 3, więc z twierdzenia o istnieniu granicy funkcji wynika, że granica naszej funkcji w punkcie x0=1 jest równa 3.

Dana jest funkcja

fx=3x-1dla x⩾12x+1dla x<1
Polecenie 2

Oblicz granicę lewostronną funkcji f w punkcie x0=1.

Polecenie 3

Oblicz granicę prawostronną funkcji f w punkcie x0=1. Czy funkcja f posiada granicę w tym punkcie?

Przeczytaj
Sprawdź się