Dodaj do ulubionych Udostępnij materiał Wydrukuj

Rodzaje graniastosłupów

R11koNf19eDUb1
Animacja

Prostopadłościan i sześcian są przykładami graniastosłupów prostych.

Graniastosłup prosty ma dwie podstawy w kształcie przystających wielokątów, leżące w równoległych płaszczyznach. Ściany boczne są prostokątami prostopadłymi do podstaw.
Nazwa graniastosłupa zależy od wielokąta, będącego jego podstawą.

Graniastosłup prosty
Definicja: Graniastosłup prosty

Graniastosłup prosty to taka figura przestrzenna, która ma

  • dwie podstawy będące jednakowymi wielokątami,

  • ściany boczne będące prostokątami.

Nazwa graniastosłupa zależy od rodzaju wielokąta w podstawie.

RkMON2IFx034A1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1OAVNcHG8kUn1
Animacja pokazuje przykłady trzech figur przestrzennych, które są graniastosłupem o podstawie kwadratu, graniastosłupem o podstawie sześciokąta i graniastosłupem o podstawie trójkąta.

Jeśli podstawą graniastosłupa prostego jest wielokąt foremny (np. trójkąt równoboczny, kwadrat, pięciokąt foremny, sześciokąt foremny), wówczas graniastosłup taki nazywamy prawidłowym.

Inny rodzaj graniastosłupów to graniastosłupy pochyłe. Ich ściany boczne są równoległobokami. Najczęściej leżą w płaszczyznach, które nie są prostopadłe do podstaw.

Elementy graniastosłupa

Ważne!

Graniastosłup ma dwie podstawy w kształcie wielokątów. Liczba ścian bocznych zależy od liczby boków podstawy. Ściany boczne są prostokątami (w przypadku graniastosłupów prostych) lub równoległobokami. Krawędzie boczne są równoległe i równe.

Obejrzyj dokładnie model graniastosłupa.

R3LBiwG2U3l1x1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1OztsduE6E1G1
Animacja pokazuje graniastosłup czworokątny o wierzchołkach A B C D A prim, B prim, C prim, D prim. W kolejnych krokach zaznaczana jest podstawa dolna, podstawa górna, krawędź podstawy dolnej, ściana boczna oraz kąt alfa nachylenia krawędzi bocznej do krawędzi podstawy.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
Przykład 1

Rysunek przedstawia graniastosłup.

  • Określ liczbę wierzchołków podstawy dolnej i liczbę wszystkich wierzchołków.

  • Ile krawędzi bocznych ma ten graniastosłup? Ile ma wszystkich krawędzi?

  • Ile ścian bocznych ma graniastosłup? Ile ma wszystkich ścian?

    RPJlKcHV5W0FW1
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 2

Podstawą graniastosłupa prawidłowego jest trójkąt o polu 253 cm2. Wysokość graniastosłupa jest równa 12 cm. Oblicz, ile centymetrów listewek potrzeba na wykonanie szkieletowego modelu tego graniastosłupa.

REBlWESy8zEnX1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Graniastosłup jest prawidłowy trójkątny, zatem jego podstawą jest trójkąt równoboczny.
Obliczamy długość a krawędzi podstawy – korzystamy ze wzoru na pole trójkąta równobocznego.

34a2=P 34a2=253a2=100
a=100 a=10 cm

Wszystkie krawędzie boczne graniastosłupa są równe i mają długość 12 cm.
Graniastosłup ma 6 krawędzi podstaw i 3 krawędzie boczne. Zatem potrzeba 6 listewek długości 10 cm i trzech długości 12 cm.

610+312=60+36=96

Odpowiedź.
Na wykonanie modelu graniastosłupa potrzeba 96 cm listewek.
Wysokością graniastosłupa nazywamy odległość między płaszczyznami zawierającymi jego podstawy. W przypadku graniastosłupów prostych, wysokość jest równa długości krawędzi bocznej.

RDyD3H77fzvOH1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przekątna graniastosłupa to odcinek łączący dwa wierzchołki leżące w różnych podstawach i różnych ścianach bocznych.

RRq4la9ckD5U81
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
igLvS3hLwi_d5e253

Rysowanie graniastosłupów

Rysowanie graniastosłupa najlepiej rozpocząć od narysowania jego podstawy dolnej. Następnie rysujemy krawędzie boczne i łączymy ich końce, tworząc wielokąt będący podstawą górną. Niewidoczne krawędzie warto zaznaczyć liniami przerywanymi.

Przykład 3

Narysuj graniastosłup prosty, który w podstawie ma pięciokąt.

R1BYTaCqhwroX1
Animacja
classicmobile
Ćwiczenie 1

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R7AdIwOEQJOyD
static
A
Ćwiczenie 2

Uzupełnij tabelę, Określ w każdym z graniastosłupów liczbę ścian bocznych, wierzchołków, krawędzi bocznych i podstaw.

R14KGemIwZsm51
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Uzupełnij tabelkę.

Tabela. Dane

Nazwa graniastosłupa

Liczba ścian bocznych

Liczba wierzchołków

Liczba krawędzi bocznych

Liczba podstaw

A
B
C
classicmobile
Ćwiczenie 3

Wskaż figurę, która nie może być podstawą graniastosłupa.

RMUqHKehe0yJv1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1NN4wlqJ8oZ2
static
classicmobile
Ćwiczenie 4

Pewien graniastosłup ma 16 wierzchołków. Ile krawędzi ma ten graniastosłup?

Ru4TsnBOagSQt
static
A
Ćwiczenie 5

Uzupełnij zdania.

  1. Graniastosłup, który nie ma przekątnej, ma ...krawędzi. Jego podstawą jest…

  2. Sześcian to graniastosłup prawidłowy …

  3. Podstawą graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego jest….

classicmobile
Ćwiczenie 6

Nie istnieje graniastosłup, który ma

RWnxeWt1ZxSvh
static
classicmobile
Ćwiczenie 7

Prawdą jest, że

RhA3BAPEYkKVB
static
classicmobile
Ćwiczenie 8

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R6djKmDwp3t6h
static
igLvS3hLwi_d5e618
classicmobile
Ćwiczenie 9

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R1PS3KIznfYWl
static
classicmobile
Ćwiczenie 10

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

RO6BLCORC2AaJ
static
R11azLD5KhSTt1
Aplet Geogebry
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
classicmobile
Ćwiczenie 11

Zaznaczony odcinek w graniastosłupie to:

Rv9AGuE5AUvna1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R81YFbYWsIaXi
static
A
Ćwiczenie 12
R14BWLzOnt4Hk1
Zadanie interaktywne
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 13

Podaj, ile krawędzi, ścian i wierzchołków ma graniastosłup, którego podstawa jest:

  1. ośmiokątem

  2. dwudziestokątem

  3. stukątem

A
Ćwiczenie 14

W miejsce kropek wpisz odpowiednią liczbę.

  1. Liczba krawędzi graniastosłupa o 20 wierzchołkach. -…

  2. Liczba ścian bocznych graniastosłupa, mającego 15 krawędzi.-…

  3. Liczba wierzchołków graniastosłupa zbudowanego z 22 ścian. -…

A
Ćwiczenie 15

W miejsce kropek wpisz odpowiednią liczbę.

  1. Liczba przekątnych graniastosłupa o podstawie czworokątnej …

  2. Liczba przekątnych graniastosłupa o podstawie pięciokątnej …

  3. Liczba przekątnych graniastosłupa o podstawie sześciokątnej …

  4. Liczba przekątnych graniastosłupa o podstawie siedmiokątnej …

A
Ćwiczenie 16
ReUGURIOmxs891
Zadanie interaktywne
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 17

Ile przekątnych ma

  1. graniastosłup ośmiokątny?

  2. graniastosłup stukątny?

  3. graniastosłup n‑kątny?

classicmobile
Ćwiczenie 18

Podstawą graniastosłupa prostego o wysokości 10 cm jest trójkąt prostokątny, którego przyprostokątne mają długości 2 cm3 cm. Najdłuższa z przekątnych ścian bocznych ma długość

R13LG2XwEMq0n
static
A
Ćwiczenie 19

Przekątna ściany bocznej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest nachylona do podstawy pod kątem 60°. Krawędź podstawy ma długość 2 cm. Oblicz długość tej przekątnej i wysokość graniastosłupa.

A
Ćwiczenie 20

W graniastosłupie prawidłowym, którego wysokość jest równa 10 cm, podstawą jest sześciokąt o krawędzi długości 2 cm. Oblicz długości przekątnych tego graniastosłupa.

A
Ćwiczenie 21

Oblicz sumę długości krawędzi graniastosłupa prawidłowego o wysokości równej 4 dm, którego podstawą jest:

  1. trójkąt o boku długości 9 cm

  2. kwadrat o boku długości 5 cm

  3. pięciokąt o boku długości 1 dm