Dodaj do ulubionych Udostępnij materiał Wydrukuj
Graniastosłup prosty
Definicja: Graniastosłup prosty

Graniastosłup prosty to taki wielościan, którego dwie przystające ściany (podstawy graniastosłupa) są położone w równoległych płaszczyznach, a pozostałe ściany są prostokątami.

R1BwruoQFKMZ41
Animacja pokazuje graniastosłup prosty. Podstawy graniastosłupa to dwie przystające ściany, położone w równoległych płaszczyznach, pozostałe ściany są prostokątami. Liczba wierzchołków, krawędzi i ścian bryły zależy od wielokąta znajdującego się w podstawie. Jeśli mamy w podstawie trójkąt liczba wierzchołków wynosi 6, krawędzi 9 , ścian 5, jeśli czworokąt to liczba wierzchołków – 8, krawędzi – 12, ścian - 6, jeśli pięciokąt – odpowiednio 10, 15 i 7, itd.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
RvbLXqLqEKAQT1
Animacja
Przykład 1
R1LVqU6nxvdSW1
Animacja pokazuje przykłady trzech figur przestrzennych, które są graniastosłupem o podstawie kwadratu, graniastosłupem o podstawie sześciokąta i graniastosłupem o podstawie trójkąta.
Ważne!

Podstawą graniastosłupa może być trójkąt, czworokąt i sześciokąt.

RJ8DlJ5a5CzpF1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ważne!

Jeżeli podstawą graniastosłupa jest wielokąt foremny (trójkąt równoboczny, kwadrat, pięciokąt foremny itd.), to mówimy, że taki graniastosłup jest prawidłowy.

RXHWGPMew0LOk1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RXUaJyVALmbaY1
Animacja

Graniastosłup, którego podstawą jest prostokąt, nazywać będziemy prostopadłościanem.

iVz7s0IVvm_d5e159

Odcinki w prostopadłościanie

RoB13mXubsPzy1
Animacja pokazuje prostopadłościan, w którym zaznaczone są wierzchołki, krawędzie podstawy, krawędzie boczne, podstawy, ściany boczne, dwie przekątne podstawy, przekątne ściany bocznej i przekątne bryły.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Kąty w prostopadłościanie

R1SDjr90Ch9jS1
Animacja pokazuje graniastosłup czworokątny, w którym zaznaczone są kąt między przekątną ściany bocznej a krawędzią podstawy, kąt nachylenia przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny podstawy, kąt między przekątnymi sąsiednich ścian bocznych.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
RwjgBpbGYGLN61
Animacja
iVz7s0IVvm_d5e204

Przekroje w prostopadłościanie

Ważne!

Sześcian to taki prostopadłościan, którego wszystkie ściany są kwadratami.

Przykład 2

Krawędź sześcianu jest równa 6 cm. Obliczymy długość przekątnej sześcianu.

RrEG7lqwoySIP1
Animacja pokazuje sześcian o krawędzi równej 6 cm i przekątnej sześcianu równej d. Przekątna podstawy równa jest d indeks dolny p i jest ona przekątną kwadratu o boku 6, zatem d indeks dolny p =6 pierwiastków z dwóch. Przekątna sześcianu jest przeciwprostokątną w trójkącie, w którym przyprostokątne są równe 6 i 6 pierwiastków z dwóch. Zatem d do kwadratu = 6 do kwadratu + (6 pierwiastków z dwóch) do kwadratu. Otrzymujemy przekątną bryły d = 6 pierwiastków z trzech centymetrów.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Zauważ, że jeśli podobne obliczenia wykonamy dla dowolnego sześcianu o krawędzi a, to otrzymamy wzór na przekątne sześcianu.

Zapamiętaj!

Przekątna sześcianu o krawędzi a jest równa

d=a3
R2yPDTx9A8o821
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Siatka sześcianu

R17lAXXZmKmlK1
Animacja 3D pokazuje leżące na stole kostki do gry. Kreślone są krawędzie jednej kostki – powstaje sześcian. Dwa jednakowe sześciany rozkładają się na dwie różne siatki sześcianu.

Siatka sześcianu

R1EgN3tj6cmXF1
Animacja 3D pokazuje dwie różne siatki sześcianu, które składają się w jednakowe sześciany. Sześcian zamienia się w kostkę do gry, która leży z innymi kostkami na stole.
iVz7s0IVvm_d5e274

Siatka prostopadłościanu

RZgOqHY6k5J2P1
Animacja 3D pokazuje kolumny. Kreślone są krawędzie jednej kolumny – powstaje prostopadłościan. Dwa jednakowe prostopadłościany rozkładają się na dwie różne siatki prostopadłościanu.

Siatka prostopadłościanu

R8diH9BEOdtba1
Animacja 3D pokazuje dwie różne siatki prostopadłościanu, które składają się w jednakowe prostopadłościany. Prostopadłościan zmienia się w kolumnę, która stoi obok innych kolumn.

Siatka graniastosłupa

R1QcG5beNhrt11
Animacja 3D pokazuje nakrętki na śruby. Kreślone są krawędzie jednej nakrętki – powstaje graniastosłup o podstawie sześciokąta foremnego. Dwa jednakowe graniastosłupy rozkładają się na dwie różne siatki graniastosłupa.

Siatka graniastosłupa

Rl9jl0NJTx8J11
Animacja 3D pokazuje dwie różne siatki graniastosłupa, które składają się w jednakowe graniastosłupy. Graniastosłup zamienia się w nakrętkę leżącą między nakrętkami.
Przykład 3

Punkty MK są środkami krawędzi sześcianu. Obliczymy pole powierzchni czworokąta ABKM.

RIb8DJiuL82c81
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Odcinki ABMK leżą na płaszczyznach równoległych i są sobie równe. Podobnie odcinki AMBK  oraz AM=BK. Ponadto odcinek BK leży na płaszczyźnie prostopadłej do podstawy sześcianu i jest prostopadły do krawędzi AB. Wynika z tego, że czworokąt ABKM jest prostokątem. Obliczymy długości boków prostokąta ABKM.

R9IOPORJyl2Wu1
Animacja pokazuje obliczanie pola przekroju sześcianu. Dany jest sześcian o krawędzi równej 10 oraz zaznaczonym czworokątem A B K M, gdzie punkty A, B są wierzchołkami dolnej podstawy, a punkty K, M środkami górnych krawędzi podstawy sześcianu. Odcinki AB i KM są równoległe ponieważ leżą na płaszczyznach zawierających podstawy sześcianu. Odcinki AM i BK są równoległe ponieważ leżą na przeciwległych ścianach bocznych sześcianu. Czworokąt A B K M jest prostokątem ponieważ odcinki AB i BK są prostopadłe, leżą na prostopadłych do siebie ścianach sześcianu. Bok AB i MK jest równy długości krawędzi sześcianu – 10. Bok BK =AM jest przeciwprostokątną w trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych równych 5 i 10. Zatem BK =AM =5 pierwiastków z pięciu. Pole prostokąta A B K M = 10 razy 5 pierwiastków z pięciu =50 pierwiastków z pięciu.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
iVz7s0IVvm_d5e341

Pole powierzchni całkowitej i objętość graniastosłupa.

Zapamiętaj!

Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa jest równe

Pc=2Pp+Pb

gdzie Pp oznacza pole podstawy graniastosłupa, a Pb – pole powierzchni bocznej.
W szczególności pole całkowite

  • prostopadłościanu o krawędziach a, b, c jest równe

Pc=2(ab+ac+bc)
  • sześcianu o krawędzi a jest równe

Pc=6a2
  • graniastosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy a i wysokości H jest równe

Pc=2a2+4aH
Zapamiętaj!

Objętość graniastosłupa jest równa

V=PpH

gdzie Pp oznacza pole podstawy graniastosłupa, a  – wysokość bryły.
W szczególności objętość

  • prostopadłościanu o krawędziach a, b, c jest równa V=abc

  • sześcianu o krawędzi a jest równa

V=a3
  • graniastosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy a i wysokości H jest równa

V=a2H
Przykład 4

Przekątna podstawy sześcianu ma długość 12. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość sześcianu.

R2kLBW2ApvL3o1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przekątna kwadratu jest równa a2, zatem otrzymujemy równanie a2=12, czyli a=62.
Wynika z tego, że objętość sześcianu jest równa

V=a3=623=4322

a pole powierzchni całkowitej

Pc=6a2=6622=432
Przykład 5

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym przekątna podstawy ma długość 6 cm, a przekątna ściany bocznej 10 cm. Obliczymy pole powierzchni całkowitej graniastosłupa.

RaWTmosPg3Ro91
Animacja pokazuje obliczanie pola powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy długości a i wysokości H. Przekątna podstawy ma długość 6 cm, przekątna ściany bocznej 10 cm. Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa P indeks dolny c =2 P indeks dolny p +P indeks dolny b. Zatem P indeks dolny c =2a do kwadratu +4a razy H. Przekątna podstawy, to przekątna kwadratu o boku a, czyli d indeks dolny p = a razy pierwiastek z dwóch. Zatem krawędź podstawy a =3 pierwiastki z dwóch. Przekątna ściany bocznej równa 10 jest przeciwprostokątną w trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych równych H i a. Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy H = pierwiastek z osiemdziesięciu dwóch. Pole podstawy P indeks dolny p = (trzy pierwiastki z dwóch) do kwadratu =18 cm kwadratowych. Zatem pole całkowite graniastosłupa P indeks dolny c =2 razy 18 +4 razy 3 pierwiastki z dwóch razy pierwiastek z osiemdziesięciu dwóch =36 +24 pierwiastki z czterdziestu jeden centymetrów kwadratowych.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
Przykład 6

Oblicz pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego, którego krawędź podstawy ma długość 62 cm, a przekątna graniastosłupa jest 2 razy dłuższa od przekątnej podstawy.

RztBYvNYXpwLk1
Animacja pokazuje obliczanie pola powierzchni całkowitej graniastosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy długości a i wysokości H. Krawędź podstawy ma długość 6 pierwiastek z dwóch cm, a przekątna graniastosłupa jest 2 razy dłuższa niż przekątna podstawy. Pole podstawy P indeks dolny p = (6 pierwiastków z dwóch) do kwadratu =72 centymetry kwadratowe. Przekątna podstawy =12 cm, bo jest to przekątna kwadratu o boku 6 pierwiastków z dwóch. Przekątna bryły jest dwa razy dłuższa niż przekątna podstawy =24 cm i jest ona przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych równych H i przekątnej podstawy =12. Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy H =12 pierwiastków z trzech. Zatem P indeks dolny c =2 razy 72 +4 razy 6 pierwiastków z dwóch razy 12 pierwiastków z 3 = 144 +288 pierwiastków z sześciu centymetrów kwadratowych.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
Przykład 7

Przekątna prostopadłościanu ma długość 6 cm i jest nachylona do podstawy pod kątem 30°. Pole podstawy prostopadłościanu jest równe 24 cm2 . Oblicz objętość bryły.

R1EjSFuw1pMc51
Animacja pokazuje obliczanie objętości prostopadłościanu o przekątnej równej 6 cm, która jest nachylona do podstawy pod kątem 30 stopni. Pole podstawy bryły jest równe 24 centymetry kwadratowe. Kąt 30 stopni jest zawarty między przekątną bryły i przekątną podstawy. Przekątna bryły jest przeciwprostokątną w trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych równych H i d indeks dolny p. Z definicji funkcji sinus otrzymujemy sinus 30 stopni = H dzielone przez 6, czyli jedna druga = H dzielone przez 6. Zatem H =3. Objętość prostopadłościanu V = P indeks dolny p razy H = 24 razy 3 =72 centymetry sześcienne.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
iVz7s0IVvm_d5e495
Przykład 8

Podstawą graniastosłupa jest trójkąt równoboczny o polu 123 . Przekątna ściany bocznej jest nachylona do krawędzi podstawy pod kątem 60°. Oblicz pole powierzchni całkowitej bryły.

R1BrFhi86SWJ01
Animacja pokazuje obliczanie pola powierzchni całkowitej graniastosłupa podstawie trójkąta równobocznego. Pole podstawy jest równe 12 pierwiastków z trzech. Przekątna ściany bocznej jest nachylona do krawędzi podstawy pod kątem 60 stopni. Pole trójkąta równobocznego jest równe P indeks dolny p = początek ułamka, licznik a kwadrat razy pierwiastek z trzech, kreska ułamkowa mianownik 4 koniec ułamka. Po podstawieniu a = 4 pierwiastki z trzech. Ściana boczna graniastosłupa jest prostokątem, którego przekątna jest nachylona do boku pod kątem 60 stopni. Z definicji funkcji trygonometrycznych dla trójkąta prostokątnego mamy tangens 60 stopni = H dzielone przez 4 pierwiastki z trzech, czyli pierwiastek z trzech = H dzielone przez 4 pierwiastki z trzech. Zatem wysokość H =12. Wobec tego pole ściany bocznej jest równe P indeks dolny śb = a razy H = 4 pierwiastki z trzech razy 123 = 48 pierwiastków z trzech. Pole powierzchni całkowitej jest równe p indeks dolny c = 2 razy P indeks dolny p + 3 razy P indeks dolny śb, czyli P indeks dolny c =2 razy 12 pierwiastków z trzech +3 razy 48pierwiastków z trzech =168 pierwiastków z trzech.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
Przykład 9

Objętość graniastosłupa o podstawie kwadratu jest równa 723. Przekątna ściany bocznej jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30°. Obliczymy pole powierzchni całkowitej graniastosłupa.

RibK3Z4PDuxPI1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe Pc=2a2+4aH - zatem do jego obliczenia będzie potrzebna długość krawędzi podstawy i wysokość bryły.
W trójkącie prostokątnym ABA1 mamy:

tg 30°=Ha

zatem

33=Ha

czyli

H=a33

Objętość graniastosłupa jest równa V=a2H, czyli 723=a2H .
Wstawiając wyznaczoną wcześniej wartość H, otrzymamy
723=a333, czyli a3=216 .Wynika z tego, że a=6 oraz

H=a33=633=23

Zatem pole powierzchni całkowitej jest równe:

Pc=2a2+4aH=262+4623=72+483
Przykład 10

Objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 75 dm3 . Przekątna podstawy graniastosłupa ma długość 5 dm. Oblicz sinus kąta nachylenia przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny podstawy.

RiffnSO50570r1
Animacja pokazuje obliczanie sinusa kąta nachylenia przekątnej płaszczyzny graniastosłupa do płaszczyzny. Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy równej a, wysokości H i przekątnej d. Objętość graniastosłupa jest równa 75 decymetrów sześciennych, a przekątna podstawy ma długość 5 dm. Kąt nachylenia przekątnej graniastosłupa do podstawy jest zawarta między tą przekątną i przekątną podstawy. Powstał trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 5 i H oraz przeciwprostokątnej d. Z definicji funkcji trygonometrycznych otrzymujemy sinus alfa = H podzielone przez d. Przekątna podstawy d =5 dm to przekątna kwadratu, zatem pole podstawy = jedna druga razy 5 do kwadratu =12,5 decymetrów kwadratowych. Z objętości graniastosłupa V =75 decymetrów sześciennych obliczamy wysokość H. V = P indeks dolny p razy H, więc 75 =12, 5 razy H, zatem H =6. Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy d do kwadratu = 5 do kwadratu +6 do kwadratu, czyli przekątna bryły d = pierwiastek z sześćdziesięciu jeden. Wynika z tego, że sinus alfa = H dzielone przez d = 6 dzielone przez pierwiastek z sześćdziesięciu jeden = 6 pierwiastków z sześćdziesięciu jeden dzielone przez sześćdziesiąt jeden.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
A
Ćwiczenie 1

Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe 286 cm2. Przekątna podstawy jest równa 42 cm. Oblicz objętość tego graniastosłupa

A
Ćwiczenie 2

Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe 144 cm2, a suma długości wszystkich krawędzi jest równa  60 cm . Oblicz objętość tego graniastosłupa.

A
Ćwiczenie 3

Pole podstawy graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równe 273 , a przekątna ściany bocznej jest nachylona do krawędzi podstawy pod kątem 45°. Oblicz objętość graniastosłupa.

A
Ćwiczenie 4

Jedna z krawędzi podstawy prostopadłościanu jest 3 razy większa od drugiej. Przekątna prostopadłościanu ma długość 25 cm i jest nachylona do podstawy pod kątem 60°. Oblicz objętość prostopadłościanu.

A
Ćwiczenie 5

Przekątna podstawy sześcianu ma długość 5 cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość sześcianu.

A
Ćwiczenie 6

Pole powierzchni całkowitej sześcianu ABCDA1B1C1D1 jest równe 432 cm2. Oblicz pole trójkąta A1BC1.

R19i3vVlF0qlu1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
B
Ćwiczenie 7

Przekątna sześcianu jest o 5 cm dłuższa od jego krawędzi. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość sześcianu.

A
Ćwiczenie 8

Oblicz cosinus kąta nachylenia przekątnej sześcianu do płaszczyzny podstawy.