Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się, aby dodać do ulubionych Zaloguj się, aby skopiować i edytować materiał Zaloguj się, aby udostępnić materiał Zaloguj się, aby dodać całą stronę do teczki
1
Polecenie 1

Zapoznaj się z infografiką. Rozwiąż najpierw samodzielnie podane przykłady.

Następnie porównaj rozwiązania.

1
RpyvrpXbWvqcD1
Infografika przedstawia wzór skróconego mnożenia na sześcian różnicy dwóch wyrażeń. Najpierw zapisany został sześcian różnicy: (ab)3, następnie został on wymnożony i przedstawiony w następującej postaci: a33a2b+3ab2b3, gdzie a3 to sześcian pierwszego wyrażenia, 3a2b to potrojony iloczyn kwadratu pierwszego wyrażenia przez drugie wyrażenie, 3ab2 to potrojony iloczyn pierwszego wyrażenia przez kwadrat drugiego wyrażenia, a -b3 to sześcian drugiego wyrażenia. Następnie zaprezentowany został przykład numer jeden. Gdzie zapisano w postaci sumy sześcian różnicy liczb x i 2y. Nasz sześcian różnicy to: (x2y)3, w postaci sumy wygląda tak: x33x22y+3x(2y)2(2y)3. Przy czym x3 to sześcian pierwszego wyrażenia. Następnie Odejmujemy potrojony iloczyn kwadratu pierwszego wyrażenia, czyli liczby x, przez drugie wyrażenie, czyli 2y, człon ten to3r22y. Kolejno dodajemy potrojony iloczyn pierwszego wyrażenia, czyli liczby x, przez kwadrat drugiego wyrażenia, czyli 2y. Część ta to 3+x(2y)2. I na koniec Odejmujemy sześcian drugiego wyrażenia, czyli 2y co wygląda tak: (2y)3. Następnie dokonujemy mnożenia składników i potęgowania, co daje nam następującą formę wyrażenia: (x2y)3=x36x2y+3x4y28y3. Na koniec zapisujemy wyrażenie x-2y3 w postaci sumy. I otrzymujemy: x36x2y+12xy28y3. Przykład drugi: (32)3 również zapisujemy za pomocą sumy i otrzymujemy: (3)33(3)22+33(2)2(2)3. Przyglądnijmy się kolejnym składnikom wyrażenia: Od początku: 33=33, Następnie w drugim członie wyrażenia 32=3, Następnie zauważmy, że 22=2 Oraz 23=22. Następnym krokiem jest wykonanie działań na elementach, które można ze sobą zsumować lub je odjąć. Zatem w wyrażeniu : 3392+6322 dokonujemy następujących działań: 33+63=93 oraz 92+22=112. Ostatecznie nasze wyrażenie ma postać: =93112

Sześcian różnicy liczb a i b to  różnica a i b zapisana w nawiasie i podniesiona do potęgi trzeciej.

Sześcian różnicy liczb a i b zapisany jako sumę algebraiczną to a sześcian minus trzy razy a kwadrat b plus trzy razy a b kwadrat minus b sześcian.

Możesz spróbować udowodnić ten wzór zapisując trzecią potęgę jako iloczyn trzech takich samych składników: a minus b i wykonując standardowe mnożenie nawiasów.

Rozważymy teraz dwa przykłady. Przykład 1:  Zapisz wyrażenie x-2y do potęgi trzeciej  jako sumę algebraiczną

Rolę a we wzorze pełni x natomiast rolę b pełni 2y

Zatem sześcian różnicy x i 2y to x sześcian odjąć 3 razy x kwadrat razy 2y plus 3 razy x razy 2y do kwadratu i 2y do potęgi trzeciej. Po uproszczeniu otrzymujemy x sześcian minus 6 x kwadrat y plus dwanaście x y kwadrat minus osiem y sześcian.

Przykład 2:  Oblicz, ile wynosi sześcian różnicy pierwiastka z trzech i pierwiastka z dwóch.

Ponownie korzystamy z wzoru na sześcian różnicy.  Mamy więc wyrażenie: pierwiastek z trzech do potęgi trzeciej minus trzy razy trzy razy pierwiastek z dwóch plus trzy razy pierwiastek z trzech razy dwa minus pierwiastek z dwóch do potęgi trzeciej. Po wykonaniu działań otrzymujemy trzy pierwiastki z trzech  minus dziewięć pierwiastków z dwóch plus sześć pierwiastków z trzech minus dwa pierwiastki z dwóch, czyli dziewięć pierwiastków z trzech minus trzynaście jedenaście pierwiastków z dwóch.

Polecenie 2

Zapisz x-233 w postaci sumy algebraicznej.