Infografika

Polecenie 1

Zapoznaj się uważnie z infografiką i przeanalizuj metody w niej wykorzystane do dowodu tożsamości.

RckmI4T7RPybz1

Infografika. Udowodnimy, że jeżeli alfa, beta i gamma są kątami trójkąta A B C, to zachodzi tożsamość

\sin α + \sin β + \sin γ = 4 \cos \frac{α}{2} \cdot \cos \frac{β}{2} \cdot \cos \frac{γ}{2}

. Rozwiązanie. Zauważmy, że

α + β + γ = 180 °

, gdyż

α

β

γ

są kątami trójkąta. Mamy więc

L = \sin α + \sin β + \sin γ =

Skorzystamy ze wzoru redukcyjnego:

\sin (180 ° - x) = \sin x

= \sin α + \sin β + \sin (180 ° - α - β) =

Mamy więc wobec wzoru

= \sin α + \sin β + \sin (α + β) =

Następnie skorzystamy ze wzoru

\sin α + \sin β = 2 \sin \frac{α + β}{2} \cos \frac{α - β}{2}

= 2 \sin \frac{α + β}{2} \cdot \cos \frac{α - β}{2} + \sin (α + β) =

Następnie skorzystamy z równości

\sin (α + β) = \sin (2 \frac{α + β}{2})

= 2 \sin \frac{α + β}{2} \cdot \cos \frac{α - β}{2} + 2 \sin \frac{α + β}{2} \cdot \cos \frac{α + β}{2} =

Wyłączamy przed nawias

2 \sin \frac{α + β}{2}

= 2 \sin \frac{α + β}{2} (\cos \frac{α - β}{2} + \cos \frac{α + β}{2}) =

Skorzystamy z następującej równości:

\cos x + \cos y = 2 \cos \frac{x + y}{2} \cos \frac{x - y}{2}

= 2 \sin \frac{α + β}{2} (2 \cos \frac{\frac{α - β}{2} + \frac{α + β}{2}}{2} \cdot \cos \frac{\frac{α - β}{2} - \frac{α + β}{2}}{2}) =

Po przekształceniu mamy:

= 2 \sin \frac{α + β}{2} \cdot 2 \cos \frac{α}{2} \cdot \cos \frac{β}{2} =

Wykorzystujemy fakt, że

α + β + γ = 180 °

= 4 \sin \frac{180 ° - γ}{2} \cdot \cos \frac{α}{2} \cdot \cos \frac{β}{2} = 4 \cos \frac{α}{2} \cdot \cos \frac{β}{2} \cdot \cos \frac{γ}{2} = P

Udowodniliśmy, że równość

\sin α + \sin β + \sin γ = 4 \cos \frac{α}{2} \cdot \cos \frac{β}{2} \cdot \cos \frac{γ}{2}

dla kątów trójkąta

α

β

γ

Polecenie 2

Udowodnij, że równość $\frac{\sin α - \sin β}{\cos α + \cos β} = tg \frac{α - β}{2}$ jest tożsamością.

Założenia: $\cos α + \cos β \neq 0$ , $\cos \frac{α - β}{2} \neq 2$ .

$\frac{\sin α - \sin β}{\cos α + \cos β} = \frac{2 \sin \frac{α - β}{2} \cdot \cos \frac{α + β}{2}}{2 \cos \frac{α + β}{2} \cdot \cos \frac{α - β}{2}} = \frac{\sin \frac{α - β}{2}}{\cos \frac{α - β}{2}} = tg \frac{α - β}{2}$

Przeczytaj

Sprawdź się