Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się, aby dodać do ulubionych Zaloguj się, aby skopiować i edytować materiał Zaloguj się, aby udostępnić materiał Zaloguj się, aby dodać całą stronę do teczki

Przypomnijmy twierdzenie:

Kryterium porównawcze
Twierdzenie: Kryterium porównawcze

Zakładamy, że nierówność 0anbn zachodzi dla prawie wszystkich dodatnich liczb naturalnych n.

Jeżeli szereg n=1+bn jest zbieżny, to również szereg n=1+an jest zbieżny.

Jeżeli szereg n=1+an jest rozbieżny, to również szereg n=1+bn jest rozbieżny.

Polecenie 1

Zapoznaj się z metodą wykorzystania kryterium porównawczego przedstawioną w infografice. Następnie wykonaj polecenie 2.

R1DI9DTRloMdO
Infografika. Zadanie. Wykażemy, że szereg n=11n2+2n jest rozbieżny. Dowód. Wiadomo, że szereg n=111+n jest rozbieżny. Jest to szereg harmoniczny. Zauważmy, że dla wszystkich naturalnych dodatnich n zachodzi następująca nierówność: n2+2n<n+1. Nierówność zachodzi, gdyż n+1=n+12=n2+2n+1. Na mocy powyższej nierówności mozemy zapisać następującą nierówność: 1n+1<1n2+2n. Zatem wyrazy szeregu n=11n2+2n są większe od wyrazów szeregu n=11n+1. Zatem szereg n=11n2+2n jest rozbieżny. Na podstawie kryterium porównawczego wykazaliśmy, że szereg n=11n2+2n też jest rozbieżny.
Polecenie 2

Wykaż, że szereg n=11n jest rozbieżny.