Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się, aby dodać do ulubionych Zaloguj się, aby skopiować i edytować materiał Zaloguj się, aby udostępnić materiał Zaloguj się, aby dodać całą stronę do teczki
Polecenie 1

Poniższa infografika pokazuje w jaki sposób można  wykorzystać definicję Cauchy'ego granicy funkcji w punkcie do wykazania, że dana liczba jest granicą funkcji wymiernej. Zapoznaj się z przedstawioną metodą a następnie wykonaj polecenia znajdujące się poniżej.

RXWT35CnCDCHA
Ilustracja przedstawia dowód na to, że liczba minus 8 jest granicą funkcji podanej w przykładzie. Celem tego przykładu jest wykazanie, że limx-12x2-4x-6x+1=-8. Zatem weźmy dowolną liczbę ε>0 i połóżmy δ=ε2. Wiedząc, że x-x0=x--1=x+1 oraz wiedząc, że fx=2x2-4x-6x+1, g=-8. Zgodnie z definicją Cauchy’ego wykażemy, że jeżeli 0<x+1<δ, to fx-g<ε. Następnie zapisujemy 2x2-4x-6x+1+8. Kolejno sprowadzamy sumę do wspólnego mianownika i otrzymujemy 2x2+4x+2x+1. W kolejnym kroku sprowadzamy licznik do postaci iloczynowej i upraszczamy ułamek. Otrzymujemy 2x+1. Korzystamy z nierówności x+1<δ. Dzięki czemu wiemy, że 2x+1<2δ. W tym miejscu widzimy, że aby uzyskać na końcu ε, to za δ trzeba przyjąć ε2. I wynikiem naszego wywodu jest ε.

Dana jest funkcja

fx=x2-x-23x-6.
Polecenie 2

W dowolny znany Ci sposób oblicz granicę funkcji f w punkcie x0=2.

Polecenie 3

Korzystając z definicji Cauchy'ego granicy funkcji w punkcie, wykaż, że wyznaczona w poprzednim poleceniu liczba jest granicą funkcji f w punkcie x0=2.