Ilustracja. Omówmy definicję ilorazu różnicowego funkcji. Zagadnienie: Załóżmy, że funkcja f jest określona w otoczeniu punktu $x_0$. Rozwiązanie: Oznaczmy: h to przyrost argumentu. Ilustracja do zadania: Ilustracja przedstawia pierwszą ćwiartkę układu współrzędnych. Na płaszczyźnie narysowano dwa obiekty. Pierwszy w nich to parabola o ramionach skierowanych do góry i o wierzchołku w pierwszej ćwiartce układu. Parabolę tę przecina w dwóch punktach ukośna prosta nachylona do poziomej osi X pod ostrym kątem alfa. Prosta ta opisana jest wzorem $y=\mathrm{tg}\alpha ·x+b$. Pierwszy punkt przecięcia ma współrzędne $A=\left(x_0;f\left(x_0\right)\right)$, które zrzutowano na obie osie. Punkt drugi przecięcia ma współrzędne $C=\left(x_0+h;f\left(x_0+h\right)\right)$. Punkt ten również zrzutowano na obie osie. Dodatkowo z pierwszego punktu wykreślono w prawo odcinek o długości h, jest to różnica między pierwszymi współrzędnymi obu punktów. Z drugiego punktu poprowadzono w dół pionowy odcinek o długości $f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)$. Dorysowane odcinki mają wspólny koniec $B=\left(x_0+h;f\left(x_0\right)\right)$. Odcinki te tworzą trójkąt prostokątny wraz z odcinkiem znajdującym się na prostej pomiędzy punktami przecięcia z parabolą. Zaznaczono dwa kąty wewnętrzne w tym trójkącie: kąt alfa między poziomym odcinkiem a odcinkiem na prostek oraz kąt prosty między poziomym i pionowym odcinkiem. Koniec opisu. Z rysunku odczytujemy współrzędne punktów. Zapisujemy:

• $A=\left(x_0;f\left(x_0\right)\right)$,
• $B=\left(x_0+h;f\left(x_0\right)\right)$,
• $C=\left(x_0+h;f\left(x_0+h\right)\right)$.

Zatem $\left|AB\right|=h$ oraz $\left|BC\right|=f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)$.
Iloraz różnicowy funkcji w punkcie $x_0$ i przyroście $h$ jest następujący: $\frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h}$. Zauważmy, że $\mathrm{tg}\alpha =\frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h}$, zatem iloraz różnicowy funkcji w punkcie $x_0$ jest równy tangensowi kąta nachylenia prostej A C do osi układu X współrzędnych.