Ilustracja. Twierdzenie o prawdopodobieństwie różnicy zdarzeń. 1. Niech omega będzie skończonym zbiorem zdarzeń elementarnych, a P niech będzie prawdopodobieństwem określonym na zdarzeniach A zawiera się w omedze i B zawiera się w omedze. Wówczas: $P\left(A\setminus B\right)=P\left(A\right)-P\left(A\cap B\right)$, co czytamy następująco: prawdopodobieństwo różnicy zdarzeń równa się prawdopodobieństwu pierwszego zdarzenia odjąć prawdopodobieństwo iloczynu tych zdarzeń. Ilustracja do punktu pierwszego przedstawia dwa zbiory: A i B reprezentowane przez elipsy. Zbiory nachodzą na siebie. Zbiory są podpisane jako A i B, a ich część wspólna podpisana jest jako $A\cap B$. 2. Jeżeli zdarzenia A i B są zdarzeniami wykluczającymi się, to $P\left(A\setminus B\right)=P\left(A\right)$, co czytamy jako prawdopodobieństwo różnicy zdarzeń równa się prawdopodobieństwu zdarzenia pierwszego. Ilustracja do punktu drugiego przedstawia dwa zbiory A i B reprezentowane przez elipsy. Zbiory są oddalone od siebie i nie mają części wspólnej - są rozłączne. Przykład. Niech omega będzie skończonym zbiorem zdarzeń elementarnych, a P niech będzie prawdopodobieństwem określonym na zdarzeniach A zawartym w omedze i B zawartym w omedze. Wiadomo, że $P\left(B\right)=\frac{1}{6}, P\left(A\cap B\right)=\frac{1}{8}, P\left(A\cup B\right)=\frac{1}{4}$. Obliczymy $P\left(A\setminus B\right)$. Najpierw skorzystamy ze wzoru na prawdopodobieństwo sumy zdarzeń. $P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)$ Z podanego wzoru wyznaczamy prawdopodobieństwo zdarzenia $A$. $P\left(A\right)=P\left(A\cup B\right)-P\left(B\right)+P\left(A\cap B\right)$ Do zapisanej równości, wstawiamy odpowiednie liczby. $P\left(A\right)=\frac{1}{4}-\frac{1}{6}+\frac{1}{8}$ Otrzymujemy więc $P\left(A\right)=\frac{5}{24}$. Zdarzenia $A$ i $B$ nie są zdarzeniami wykluczającymi się. $P\left(A\cap B\right)=\frac{1}{8}\ne \varnothing$ Zapisujemy wzór na prawdopodobieństwo różnicy zdarzeń, z którego skorzystamy. $P\left(A\setminus B\right)=P\left(A\right)-P\left(A\cap B\right)$ Do wzoru podstawiamy odpowiednie liczby. $P\left(A\setminus B\right)=\frac{5}{24}-\frac{1}{8}$ Prawdopodobieństwo różnicy zdarzeń $A$ i $B$ jest równe $\frac{1}{12}$. $P\left(A\setminus B\right)=\frac{2}{24}=\frac{1}{12}$