Infografika

Polecenie 1

Zapoznaj się z poniższą infografiką, na której przedstawiono sposób na sprawdzenie czy funkcja $f (x) = \frac{x - 1}{x^{2} - 1}$ posiada granicę w punkcie $x_0=1$ . Zwróc uwagę, że punkt ten nie należy do dziedziny funkcji $f$ . Po zapoznaniu się ze sposobem przedstawionym w infografice, wykonaj zawarte pod nią polecenia.

R3uB0MhBAWYrX

Sprawdzimy, czy funkcja

f (x) = \frac{x - 1}{x^{2} - 1}

posiada granicę w punkcie

x_{0} = 1

. 1. Dziedzina funkcji

f

D_{f} = ℝ ∖ \{- 1; 1\}

, 2. Bierzemy dowolny ciąg argumentów funkcji

f

zbieżny do

1

x_{n} \in D_{f}, \lim_{n \to \infty} x_{n} = 1

, 3. Sprawdzamy, czy ciąg wartości

f (x_{n})

posiada granicę.

\lim_{n \to \infty} f (x_{n}) = \lim_{n \to \infty} \frac{x - 1}{x^{2} - 1} =

, 4. Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.

= \lim_{n \to \infty} \frac{x - 1}{(x - 1) (x + 1)} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{(x + 1)} =

, 5. Korzystamy z faktu, że ciąg

x_{n}

jest zbieżny do

1

oraz z twierdzeń o arytmetyce działań na granicach ciągów zbieżnych.

= \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}

, 6. Ponieważ ciąg wartości

f (x_{n})

posiada granicę i jest ona zawsze równa

\frac{1}{2}

, więc funkcja

f

posiada granicę w punkcie

x_{0} = 1

równą

\frac{1}{2}

\lim_{n \to \infty} \frac{x - 1}{x^{2} - 1} = \frac{1}{2}

Polecenie 2

Dana jest funkcja

$f(x)=\frac{2x-4}{x^3-x^2-2x}$ .

Wyznacz dziedzinę funkcji $f$ .

$D_f=\mathbb{R}\setminus \lbrace -1,0,2\rbrace$

Polecenie 3

Dana jest funkcja

$f(x)=\frac{2x-4}{x^3-x^2-2x}$ .

Sprawdź, czy funkcja $f$ posiada granicę w punkcie $x_0=2$ . Jeśli tak, to oblicz wartość tej granicy. Skorzystaj z definicji granicy funkcji w punkcie według Heinego.

$\lim_{x\to 2} f(x)=\frac{1}{3}$

Przeczytaj

Sprawdź się