Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się, aby dodać do ulubionych Zaloguj się, aby skopiować i edytować materiał Zaloguj się, aby udostępnić materiał Zaloguj się, aby dodać całą stronę do teczki
Polecenie 1

Zapoznaj się z infografiką. Znajdziesz w niej przykład dowodu jednej z własności ciągu arytmetycznego. Spróbuj najpierw samodzielnie udowodnić tę własność, a następnie porównaj z rozwiązaniem.

Zapoznaj się z infografiką. Znajdziesz w niej przykład dowodu jednej z własności ciągu arytmetycznego.

R1OGXyIkeAZSz
Infografika. Ciąg an określony jest wzorem: an=Wn+1-Wn, gdzie W jest trójmianem kwadratowym. Wykażemy, że ciąg ten jest ciągiem arytmetycznym. Rozwiązanie. W jest trójmianem kwadratowym, więc Wx=ax2+bx+c, gdzie a0,b,c. Zapiszmy więc na tej podstawie wartość wielomianu W dla x=n. Wn=an2+bn+c Zapiszmy następnie wartość wielomianu W dla x=n+1. Wn+1=an+12+bn+1+c Przekształcamy wzór na wyraz ogólny ciągu an. an=Wn+1-Wn Podstawiamy. an=an+12+bn+1+c-an2-bn-c Wymnażamy nawiasy. an=an2+2an+a+bn+b+c-an2-bn-c Redukujemy wyrazy podobne, otrzymując wzór ogólny ciągu an. an=2an+a+b, gdzie a0,b,n=1,2,3,... Obliczamy różnicę między dwoma kolejnymi wyrazami ciągu. an+1-an=2an+1+a+b-2an-a-b Przekształcamy zapisane wyrażenie. an+1-an=2an+2a+a+b-2an-a-b Po redukcji wyrazów podobnych otrzymujemy an+1-an=2a. Różnica jest liczbą, zatem ciąg an jest ciągiem arytmetyczny, co należało udowodnić.
Polecenie 2

Ciąg x+y, 3x+2y+1, x2+4y+5x jest arytmetyczny. Wykaż, że ciąg ten jest rosnący dla x-1, 3.