Wydrukuj Zapisz jako PDF Dodaj do ulubionych Udostępnij materiał

Jednomian kwadratowy i jego własności

Omówimy własności funkcji f określonej wzorem fx=x2.

Przykład 1

W poniższej tabeli zapisane są wartości funkcji fx=x2 dla kilku przykładowych argumentów.

Tabela.Dane
x
3
2
1
0
1
2
3
f(x)
9
4
1
0
1
4
9

Odczytujemy stąd, że f2=f-2=4. Uzasadnimy, że tylko dla tych dwóch argumentów funkcja f przyjmuje wartość 4.
Argument x, dla którego funkcja f przyjmuje wartość 4, spełnia równanie x2=4, które jest równoważne równaniu

x2-4=0,

czyli

x-2x+2=0.

Otrzymany iloczyn x-2x+2 jest równy 0 wtedy i tylko wtedy, gdy jeden z jego czynników jest równy zero.
Wobec tego x-2=0 lub x+2=0.
Stąd fx=4 wtedy i tylko wtedy, gdy x=2 lub x=-2.

Przykład 2

Zauważamy też, że f-1=f1=1f-3=f3=9.
Wykażemy, że dla każdej pary argumentów, które są liczbami przeciwnymi, funkcja f przyjmuje tę samą wartość.
Rozpatrzmy pewną liczbę x, która jest różna od zera. Wtedy fx=x2 oraz f-x=-x2=x2, co oznacza, że f-x=fx, czyli funkcja f przyjmuje tę samą wartość dla takich dwóch argumentów, które są liczbami przeciwnymi.

RnxUgXqzZIFlZ1
Animacja prezentuje punkty o współrzędnych [x, f(x)] leżące w pierwszej i drugiej ćwiartce układu współrzędnych. Punkty należą do wykresu funkcji y = x kwadrat. Dla argumentów -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 podano odpowiadające im wartości funkcji 9, 4, 1, 0, 1, 4 i 9. Należy obliczyć wartości funkcji dla kilku nowych argumentów.
Przykład 3

Z tabeli z przykładu 1 odczytujemy, że f0=0, f1=1, f2=4, f3=9, więc f0<f1<f2<f3. Zauważmy też, że f1-f0=1, f2-f1=3, f3-f2=5.
Uzasadnimy, że:

  1. dla dowolnej nieujemnej liczby całkowitej n prawdziwa jest nierówność fn+1>fn,

  2. wraz ze wzrostem n różnica fn+1-fn rośnie.

  • Weźmy pewną liczbę całkowitą nieujemną n. Wówczas fn=n2fn+1=n+12=n2+2n+1, więc fn+1-fn=n2+2n+1-n2=2n+1>0, bo liczba n jest nieujemna.

  • Ponieważ fn+1-fn=2n+1, więc wraz ze wzrostem n rośnie wartość 2n+1.

Przykład 4

Pokażemy, że jedynym punktem wspólnym wykresu funkcji fx=x2 z osią Ox jest punkt (0, 0), a pozostałe punkty wykresu tej funkcji leżą powyżej osi Ox.
Funkcja f przyjmuje wyłącznie wartości nieujemne, ponieważ dla dowolnej liczby rzeczywistej x jest x20. Ponadto x2=0 wtedy i tylko wtedy, gdy = 0.
Zatem

  • punkt (0, 0) jest jedynym punktem wspólnym wykresu funkcji f z osią Ox,

  • pozostałe punkty wykresu tej funkcji leżą powyżej osi Ox.

ik1JIubkZ2_d5e184
Przykład 5

Uzasadnimy, że prosta określona równaniem x=0 jest osią symetrii wykresu funkcji f.
Na wykresie funkcji f możemy wskazać pary punktów symetrycznych względem osi Oy. Np. (1, 1) oraz (1, 1), a także (2, 4)(2, 4). Jak wcześniej wykazaliśmy, funkcja f przyjmuje tę samą wartość dla takich dwóch argumentów, które są liczbami przeciwnymi. Zatem dla dowolnej liczby rzeczywistej x zachodzi równość f-x=fx, a to oznacza, że oś Oy (czyli prosta o równaniu x=0) jest osią symetrii wykresu funkcji f.

Przykład 6

Uzasadniliśmy wcześniej, że dla dowolnej nieujemnej liczby całkowitej n prawdziwa jest nierówność fn+1>fn. Wykażemy, że dla dowolnych liczb nieujemnych x1, x2, takich że x1< x2, prawdziwa jest nierówność fx2>fx1.
Weźmy takie dwie liczby nieujemne x1, x2, że x1< x2. Wtedy

fx2-fx1=x22-x12=x2-x1x2+x1

W otrzymanym iloczynie oba czynniki są dodatnie: x2-x1>0, bo x1< x2, natomiast x2+x1>0, gdyż x2+x1 jest sumą liczby nieujemnej x1i liczby dodatniej x2. Stąd fx2-fx1>0, czyli fx2>fx1.
Zatem (z uwagi na symetrię wykresu funkcji f względem osi Oy)

  • maksymalny przedział, w którym funkcja f jest rosnąca to 0, +,

  • maksymalny przedział, w którym funkcja f jest malejąca to (, 0.

Przykład 7

Uzasadniliśmy wcześniej, że dla każdej pary argumentów, które są liczbami przeciwnymi, funkcja f przyjmuje tę samą wartość.
Wykażemy, że dla każdej dodatniej liczby k istnieją dokładnie dwa takie argumenty funkcji f, że fx=k.
Przekształcamy równanie

x2=k
x2-k=0
x-kx+k=0.

Ta równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy x-k=0 lub x+k=0.
Zatem fx=k wtedy i tylko wtedy, gdy x=k lub x=-k. Liczby te są różne, gdyż -k<0<k.
To oznacza, że dowolna dodatnia liczba k należy do zbioru wartości funkcji f.
Ponieważ f0=0, to możemy stwierdzić, że zbiorem wartości funkcji f jest przedział 0, +.

Ważne!
  • Wykresem funkcji fx=x2 jest krzywa o równaniu y=x2, którą nazywamy parabolą.

  • Punkt = (0, 0) nazywamy wierzchołkiem tej paraboli.

  • Prosta x=0 jest osią symetrii tej paraboli. Symetryczne względem tej prostej części paraboli y=x2 nazywać będziemy jej ramionami.

  • Ramiona paraboli y=x2 skierowane są zgodnie ze zwrotem osi Oy (mówimy też, że ramiona tej paraboli skierowane są w górę).

  • Parabola ta ma dokładnie dwa punkty wspólne z każdą prostą o równaniu y=k, gdzie k>0.

    RwiDnxg5t92D01

Przykład 8

Narysujemy wykres funkcji gx=2x2.
Ustalimy najpierw zależność między wykresem funkcji g a wykresem funkcji fx=x2.
Wartości tych funkcji dla kilku przykładowych argumentów prezentuje poniższa tabela.

Tabela.Dane
x
3
2
1
0
1
2
3
f(x)
9
4
1
0
1
4
9
g(x)
18
8
2
0
2
8
18

Zauważmy, że g0=f0=0. Dla ustalonego argumentu x0, fx>0 oraz równość

gx=2x2=2fx,

co oznacza, że wartość funkcji g jest dwa razy większa od wartości funkcji f.
Wykres funkcji g (krzywa o równaniu y=2x2) jest parabolą, której wierzchołkiem jest punkt = (0, 0), a ramiona skierowane są w górę.

RWtfuCkm2UPxP1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Przykład 9

W odniesieniu do wykresu funkcji fx=x2 rozpatrzmy wykres funkcji h danej wzorem hx=ax2, gdzie a jest ustaloną liczbą dodatnią. Niezależnie od wartości a jest h0=f0=0. Dla ustalonego niezerowego x0 zachodzi równość hx=afx>0.
Wykresem każdej takiej funkcji h jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt = (0, 0) i ramiona skierowane są w górę.

RYb2bZkepvnSg1
Animacja prezentuje wykres funkcji f(x) = x kwadrat leżącej w pierwszej i drugiej ćwiartce układu współrzędnych. W siedmiu krokach wykreślono kolejne wykresy g(x) = a razy x kwadrat (a>0). Wszystkie parabole mają wspólny wierzchołek w punkcie o współrzędnych (0, 0), ramiona skierowane do góry.
  • Krzywą o równaniu y=x2 nazwaliśmy parabolą. Wykazaliśmy, że pewne jej własności ma również każda krzywa o równaniu y=ax2, gdzie a>0 i na tej podstawie uznaliśmy, że każdą z tych krzywych można również nazwać parabolą.

  • Wybierzmy na płaszczyźnie dowolną prostą k oraz punkt F, który nie należy do tej prostej. Parabola to zbiór wszystkich punktów tej płaszczyzny, których odległość od prostej k, zwanej kierownicą paraboli, jest równa odległości od punktu F, tzw. ogniska paraboli.

  • Punkt paraboli, którego odległość od ogniska jest najmniejsza z możliwych, nazywamy wierzchołkiem paraboli. Wierzchołek leży w połowie odległości ogniska F od kierownicy k.

  • Prosta prostopadła do kierownicy k i przechodząca przez ognisko F jest osią symetrii paraboli i przecina tę parabolę w jej wierzchołku.

Przykład 10

Wykażemy, że krzywa o równaniu y=x2 to parabola, której kierownicą jest prosta k o równaniu y=-14, a ogniskiem punkt F=0,14.
Spośród punktów danej krzywej, najbliżej prostej k leży punkt W=0,0, jedyny punkt tej krzywej, który leży na osi Ox. Jego odległość zarówno od punktu F, jak i od prostej k jest równa 14.
Na krzywej o równaniu y=x2 leżą też np. punkty A=1,1B=-2,4. Pokażemy, że każdy z nich jest równo odległy od kierownicy k i ogniska F.
Dla punktu A odległość od kierownicy k jest równa 114, a odległość od ogniska jest równa

AF=1-02+1-142=1+916=2516=54,

czyli również 114.
Dla punktu B odległość od kierownicy k jest równa 414, a odległość od ogniska jest równa

BF=-2-02+4-142=-22+1542=4+22516=28916=174=414,

zatem i te dwie odległości są równe.
Pokażemy, że każdy punkt krzywej o równaniu y=x2 leży w tej samej odległości od prostej k i punktu F.
Zauważmy, że dla dowolnej liczby rzeczywistej x punkt P=x,x2 leży na tej krzywej. Odległość punktu P od prostej k to x2+14, a odległość punktu P od ogniska F jest równa

PF=x-02+x2-142=x2+x4-12x2+116=x4+12x2+116=x2+142=x2+14

Zatem dla każdego x odległości te są równe, więc krzywa o równaniu y=x2 to parabola, której wierzchołkiem jest punkt W=0,0, a jej osią symetrii jest prosta o równaniu x=0.

Każda krzywa o równaniu y=ax2, gdzie a0 to parabola, której kierownicą jest prosta k o równaniu y=-14a, a ogniskiem jest punkt F=0,14a.
Dla dowolnej liczby rzeczywistej x punkt P=x,ax2 leży na tej krzywej. Odległość punktu P od prostej k to ax2+14a, a odległość punktu P od ogniska F wyraża się wzorem

PF=x-02+ax2-14a2=x2+a2x4-12x2+116a2=a2x4+12x2+116a2=ax2+14a2=
=ax2+14a.

Odległości te są równe, zatem krzywa o równaniu y=ax2 to parabola. Jej wierzchołkiem jest punkt W=0,0, a osią symetrii – prosta o równaniu x=0.

ik1JIubkZ2_d5e381

Przesunięcie wykresu jednomianu kwadratowego wzdłuż osi układu współrzędnych

Przykład 11

Narysujemy wykresy funkcji f1x=x2-3 oraz f2x=x-22.

R1VNKwewybYTA1
Animacja prezentuje parabolę y = x kwadrat w układzie współrzędnych. Należy tak przesunąć parabolę wzdłuż osi układu współrzędnych, aby jej wierzchołek miał podane współrzędne. Współrzędne wierzchołka zmieniają się.

Rozpatrzmy parabolę o równaniu y=x2.
Zauważmy, że:

  • po jej przesunięciu o 3 jednostki w dół wzdłuż osi Oy otrzymamy parabolę o równaniu y=x2-3. Wykresem funkcji f1 jest więc parabola, której wierzchołek to W1 = (0, 3), a jej ramiona skierowane są w górę. Prosta x=0 jest osią symetrii tej paraboli. Zatem maksymalny przedział, w którym funkcja f1 jest rosnąca, to 0, +), a maksymalny przedział, w którym funkcja f1 jest malejąca, to (,0. Zbiór wartości funkcji f1 to -3, +).

    R1Ubri27clf1K1

  • po jej przesunięciu o 2 jednostki w prawo wzdłuż osi Ox otrzymamy parabolę o równaniu y=x-22. Stąd wykresem funkcji f2 jest parabola o wierzchołku w punkcie W2 = (2, 0), której ramiona skierowane są w górę. Prosta x=2 jest osią symetrii tej paraboli. Wobec tego przedział 2, +) to maksymalny przedział, w którym funkcja f2 jest rosnąca, a przedział (, 2 to maksymalny przedział, w którym funkcja f jest malejąca. Zbiór wartości funkcji f1 to 0, +).

    RS8nJthQ1xShW1

Przykład 12

Narysujemy wykresy funkcji.

  1. g1x=12x+12

  2. g2x=-x2-1

  3. g3x=-13x2+3

  4. g4x=-2x+12

Rozpatrzmy funkcję f daną wzorem fx=ax2, gdzie a jest ustaloną liczbą różną od zera.
Obrazem wykresu funkcji f w przesunięciu o q jednostek wzdłuż osi Oy jest wykres takiej funkcji g, że gx=ax2+q. Jest to więc parabola przystająca do paraboli o równaniu y=ax2, której wierzchołkiem jest punkt (0, q). Osią symetrii tej paraboli jest prosta o równaniu x=0.
Obrazem wykresu funkcji f w przesunięciu o p jednostek wzdłuż osi Ox jest wykres takiej funkcji h, że hx=ax-p2. Jest to więc parabola przystająca do paraboli o równaniu y=ax2, której wierzchołkiem jest punkt (p, 0). Osią symetrii tej paraboli jest prosta o równaniu x=p.
Wobec powyższego:

  1. Wykresem funkcji g1x=12x+32 jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt -3,0, a jej ramiona są skierowane w górę. Osią symetrii tej paraboli jest prosta o równaniu x=-3. Maksymalny przedział, w którym funkcja g1 jest rosnąca, to 3, +), a maksymalny przedział, w którym funkcja g1 jest malejąca, to (, 3. Zbiór wartości funkcji g1 to 0, +).

    RZbu3iXrbhQRZ1

  2. Wykresem funkcji g2x=2x2+1 jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt 0,1, a jej ramiona skierowane są w górę. Osią symetrii tej paraboli jest prosta o równaniu x=0. Maksymalny przedział, w którym funkcja g2 jest rosnąca, to 0, +), a maksymalny przedział, w którym jest ona malejąca, to (, 0. Zbiór wartości funkcji g2 to 1, +).

    R9qdHAWab7yIm1

  3. Wykresem funkcji g3x=-13x2+3 jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt 0,3, a jej ramiona są skierowane w dół. Osią symetrii tej paraboli jest prosta o równaniu x=0. Maksymalny przedział, w którym funkcja g3 jest rosnąca, to (, 0, a maksymalny przedział, w którym jest ona malejąca, to 0, +). Zbiór wartości funkcji g2 to (, 3.

    R1EV3cdBYQArg1

  4. Wykresem funkcji g4x=-x-12 jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt 1,0, a jej ramiona są skierowane w dół. Osią symetrii tej paraboli jest prosta o równaniu x=1. Maksymalny przedział, w którym funkcja g4 jest rosnąca, to (, 1, a maksymalny przedział, w którym jest ona malejąca, to 1, +). Zbiór wartości funkcji g4 to (, 0.

    RGvc44enRNlAQ1

Przykład 13

Znajdziemy równania parabol, które są zaprezentowane na poniższych rysunkach.

  1. RDukHmQQby6ij1

  2. ROg9PGKtDOUVe1

  3. R1dPKo3ZmNm6g1

  4. R1ZRmsPA3HHDO1

  5. Wierzchołkiem paraboli jest punkt (0, 1), więc ma ona równanie postaci y=ax2+1. Na tej paraboli leży też punkt (1, 2), zatem a12+1=2, stąd a=1. Wobec tego równanie tej paraboli to y=x2+1.

  6. Wierzchołkiem paraboli jest punkt (1, 0), zatem ma ona równanie postaci y=ax+12. Na tej paraboli leży też punkt (0, 1), więc a0+12=-1, stąd a=-1. To znaczy, że ta parabola ma równanie y=-x+12.

  7. Wierzchołkiem paraboli jest punkt (1, 0), więc ma ona równanie postaci y=ax-12. Na tej paraboli leży też punkt (0, 2), zatem a0-12=2, stąd a=2. To znaczy, że ta parabola ma równanie y=2x-12.

  8. Wierzchołkiem paraboli jest punkt (0, 3), zatem ma ona równanie postaci y=ax2+3. Na tej paraboli leży też punkt (3, 0), więc a32+3=0, stąd a=-13. Wobec tego równanie tej paraboli to y=-13x2+3.

ik1JIubkZ2_d5e518
A
Ćwiczenie 1
R1EhGoxH8sBgy1
Zadanie interaktywne
classicmobile
Ćwiczenie 2

Funkcja g określona jest wzorem gx=-2x2-c2. Można tak dobrać c , aby największa wartość tej funkcji była równa

R13ip7krghMOu
static
classicmobile
Ćwiczenie 3

Do zbioru wartości funkcji fx=x2 należy liczba

R1KXTSDjbt01l
static
classicmobile
Ćwiczenie 4

Wskaż prostą, która przecina parabolę y=-x2 w dokładnie dwóch punktach.

RDN7kzFqVILdm
static
classicmobile
Ćwiczenie 5

Aby otrzymać wykres funkcji fx=-2x2, należy

R1N5EAGoHoggh
static
classicmobile
Ćwiczenie 6

Wskaż maksymalny przedział, w którym funkcja fx=-3x+12 jest malejąca.

R198BrhPtQBPD
static
classicmobile
Ćwiczenie 7

Funkcja f określona jest wzorem fx=17x-12. Wskaż prawdziwą równość.

R1UrxcZWub6pw
static
classicmobile
Ćwiczenie 8

Na rysunku przedstawiono parabolę, która jest wykresem funkcji f.

R1UetGqUFW2981
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Funkcja f jest określona wzorem

R8RGy5VTwDYa7
static
classicmobile
Ćwiczenie 9

Na rysunku przedstawiono parabolę, która jest wykresem funkcji g.

RKDuWDgvAKd8b1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Funkcja g jest określona wzorem

RoFaY1cFqYwyK
static
ik1JIubkZ2_d5e920
classicmobile
Ćwiczenie 10

Funkcja g określona jest wzorem gx=m2+2x2+m. Można dobrać taką wartość m, żeby osią symetrii wykresu tej funkcji była prosta o równaniu

RTrQbD5OjjD9h
static
A
Ćwiczenie 11

Narysuj wykres funkcji f. Zaznacz wierzchołek otrzymanej paraboli i narysuj jej oś symetrii.

  1. fx=x2+1

  2. fx=4x2-1

  3. fx=2x2+2

A
Ćwiczenie 12

Narysuj wykres funkcji g. Zaznacz wierzchołek otrzymanej paraboli i narysuj jej oś symetrii.

  1. gx=-x2+4

  2. fx=-2x2-1

  3. fx=-3x2+3

  4. fx=-12x2-2

A
Ćwiczenie 13

Podaj zbiór wartości funkcji f.

  1. fx=3x2+1

  2. fx=x+52

  3. fx=2x2-3

  4. fx=4x-72

A
Ćwiczenie 14

Podaj zbiór wartości funkcji h.

  1. hx=-x+42

  2. hx=-9x2-4

  3. hx=-x2+2

  4. hx=-3x-12

A
Ćwiczenie 15

Podaj maksymalny przedział, w którym funkcja g maleje.

  1. gx=3x2-1

  2. gx=-x+22-1

  3. gx=34x-12+2

  4. gx=-5x2+5

A
Ćwiczenie 16

Narysuj wykres funkcji f określonej wzorem fx=-x+32. Na jego podstawie ustal, ile rozwiązań ma podane równanie.

  1. fx=3

  2. fx=0

  3. fx=-1

  4. fx=-3

A
Ćwiczenie 17

Narysuj wykres funkcji g określonej wzorem gx=-2x2+2. Na jego podstawie ustal, ile rozwiązań ma podane równanie.

  1. gx=3

  2. gx=2

  3. gx=1

  4. gx=0

A
Ćwiczenie 18

Na rysunkach przedstawiono trzy parabole będące wykresami funkcji kwadratowej. Odczytaj współrzędne wierzchołka W każdej z tych parabol i znajdź wzór każdej z funkcji.

  1. RDZsmOjC4Cjfp1

  2. R166gQ1AtgZuM1

  3. R1Z8ugL5cQH2J1

A
Ćwiczenie 19

Funkcja f jest określona wzorem fx=-2x-32. Uszereguj od najmniejszej do największej liczby: m=f103, n=f-96, k=f-100, l=f101.

A
Ćwiczenie 20

Rozpatrzmy funkcję fx=3x2. Wykaż, że dla dowolnej liczby całkowitej n różnica fn-fn-1 jest liczbą nieparzystą.