Wróć do informacji o e-podręczniku Udostępnij materiał Wydrukuj
 Kąt środkowy okręgu
Definicja:  Kąt środkowy okręgu

Kątem środkowym okręgu nazywamy kąt, którego wierzchołek jest środkiem okręgu.

RPgvZ0Zo6p0nE1
RIgTw3FgTFLvd1

Mówimy, że kąt środkowy α jest oparty na łuku AC, mając na myśli łuk zaznaczony na rysunku.

  • w przypadku kątów mniejszych niż 180°, kąt środkowy jest oparty na krótszym z łuków AC,

  • w przypadku kątów większych niż 180°, kąt środkowy oparty jest na dłuższym z łuków AC.

  • W przypadku kata równego 180°, kąt środkowy oparty jest na półokręgu.

Rozpatrzymy teraz sytuację, w której kąt środkowy i kąt wpisany oparte są na tym samym łuku okręgu.

RNkDcmqEnDYte1
Animacja pokazuje związek kąta środkowego A S B równego beta z kątem wpisanym A C B równym alfa, opartych na tym samym łuku AB okręgu o środku w punkcie S. Zauważamy, że kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego.
  • I przypadek

Środek okręgu leży wewnątrz kąta wpisanego.

R1N5XpGTjsZUc1

Na okręgu o środku w punkcie S i promieniu r zaznaczmy punkty A, BC. Niech α będzie kątem środkowym opartym na łuku AB, a β niech będzie kątem wpisanym opartym na tym samym łuku AB.
Oznaczmy γ=∢CAS oraz δ=∢SBC. Poprowadźmy z punktu C promień okręgu. Utworzone w ten sposób trójkąty ACS oraz BCS są równoramienne. Zatem w każdym z  tych trójkątów miary kątów przy podstawie są równe.

RETrXzSrfQdyV1

Zatem ACS=CAS=γBCS=CBS=δ .
Wtedy

ASC=180°-2γ, BSC=180°-2δ.

Suma miar kątów ASC, BSC, ASB jest równa 360°

ASC+BSC+ASB=360°

Czyli

180°-2γ+180°-2δ+α=360°
α=2γ+2δ=2γ+δ,

ale

γ+δ=β,

więc

α=2β.
  • II przypadek

Środek okręgu leży na ramieniu kąta wpisanego.

Rq72r4IzgCHJu1

Trójkąt BCS jest równoramienny, stąd ∢SBC=β. Zatem

∢BSC=180°-2β.

Z drugiej strony ∢BSC+α=180°.
Zatem 180°-2β+α=180°, więc w tym przypadku także

α=2β.
  • III przypadek

Środek okręgu leży na zewnątrz kąta wpisanego.

RmllHkrbW3vtz1

Narysujmy średnicę okręgu przechodzącą przez punkt C.

R1e2Fku5fjRfW1

Oznaczmy przez γ kąt pomiędzy narysowaną średnicą a ramieniem AC kąta wpisanego, jak na rysunku.
Zauważmy, że kąt ASD jest kątem środkowym opartym na tym samym łuku co kąt γ i jest to sytuacja opisana w przypadku II. Zatem

ASD=2γ.
RznZHorgzJ25u1

Kąt γ+β jest kątem wpisanym opartym na tym samym łuku, co kąt środkowy 2γ+α i jest to sytuacja opisana w przypadku II. Zatem

2γ+β=2γ+α.

Stąd ponownie otrzymujemy

α=2β.

Udowodniliśmy w ten sposób twierdzenie o kącie środkowym i wpisanym.

o kącie środkowym i wpisanym
Twierdzenie: o kącie środkowym i wpisanym

Kąt środkowy ma miarę dwa razy większą niż kąt wpisany oparty na tym samym łuku.

Z tego twierdzenia wynikają wprost twierdzenia zapisane poniżej.

o kątach wpisanych opartych na tym samym łuku okręgu
Twierdzenie: o kątach wpisanych opartych na tym samym łuku okręgu

Kąty wpisane oparte na tym samym łuku okręgu mają równe miary.

RC6hsxUBQYZs61