Wydrukuj Dodaj do ulubionych Udostępnij materiał Zapisz jako PDF
R1ARgYOMMskFw1
Animacja
Kąt
Definicja: Kąt

Dwie półproste o wspólnym początku rozcinają płaszczyznę na dwie części. Każdą z tych części, wraz z tymi półprostymi nazywamy kątem.
Wierzchołkiem kąta nazywamy wspólny początek obu półprostych, a każdą z  półprostych nazywamy ramieniem kąta.

Półproste ACAB wyznaczają dwa kąty. Każdy z  nich możemy oznaczyć symbolem ∡BAC. Aby wskazać o który kąt chodzi, zaznaczamy go odpowiednim łukiem.

Rodzaje kątów

Już wiesz
R5R8ali61EXXC1
Animacja
  • Jeśli ramiona kąta uzupełniają się do prostej, to taki kąt nazywamy półpełnym.

    R1Lrhp5b8rekq1
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

  • Gdy ramiona kąta pokrywają się, wyznaczają kąt pełny lub kąt zerowy.

    RAUq690TXT69N1
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

  • Najczęściej używaną jednostką miary kąta jest stopień.

  • Jeden stopień 1° to 60 minut kątowych 60'. Jedna minuta to 60 sekund 60''.

  • Kąty mające tę samą miarę nazywać będziemy kątami równymi lub przystającymi.

ihITdfMCjb_d5e173
Przykład 1
R4wTn7OrP9RNv1
Animacja pokazuje kąt o wierzchołku w punkcie Q. Należy posługując się kątomierzem, dla różnych rodzajów kąta, określić jego miarę.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
Rodzaje kątów
Definicja: Rodzaje kątów
  • Kąt, którego miara jest mniejsza od 90°, ale większa od 0°, nazywamy kątem ostrym.

  • Kąt, którego miara jest równa 90°, nazywamy kątem prostym.

  • Kąt, którego miara jest większa od 90°, ale mniejsza od 180°, nazywamy kątem rozwartym.

    RMy9sLyDS4AHh1
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Kąty wypukłe, kąty wklęsłe
Definicja: Kąty wypukłe, kąty wklęsłe
  • Kąty, których miara jest mniejsza od 180° lub równa 180° nazywamy kątami wypukłymi.

  • Kąty, których miara jest większa od 180°, ale mniejsza od 360°, to kąty wklęsłe.

    RHzS3D7shCIkp1
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ciekawostka

W naukach przyrodniczych najczęściej wykorzystywaną miarą kąta jest miara łukowa. Jednostką jest radian. Miary kątów pojawiają się w wielu wzorach fizycznych. Kąty wyrażone w radianach dają prostsze wyniki niż miary wyrażone w stopniach. Jednakże mierzenie kątów w  stopniach w życiu codziennym jest tak popularne, że matematycy i przyrodnicy nie rezygnują całkowicie ze stosowania miary stopniowej.

ihITdfMCjb_d5e257

Kąty wierzchołkowe i przyległe

Przykład 2
R3uYAh5rctBQx1
Animacja pokazuje dwie proste przecinające się. Między prostymi zaznaczona łukami para kątów wierzchołkowych. Na jednej prostej leży punkt P. Zmieniając położenie punktu P zmienia się wzajemne położenie ramion i wierzchołków zaznaczonych kątów.
Przykład 3
Roz0hUV88rumc1
Animacja pokazuje dwie proste przecinające się. Między nimi zaznaczona para kątów przyległych. Na jednej prostej leży punkt P. Zmieniając położenie prostej zauważamy, że zmienia się wzajemne położenie ramion i wierzchołków zaznaczonych kątów.
Kąty przyległe i wierzchołkowe
Definicja: Kąty przyległe i wierzchołkowe
  • Kąty przyległe to dwa kąty wypukłe, które mają jedno ramię wspólne, a pozostałe ramiona dopełniają się do prostej.

  • Kąty wierzchołkowe to dwa kąty wypukłe, które mają wspólny wierzchołek i przedłużeniem ramion jednego kąta są odpowiednie ramiona drugiego kąta.

    R17EFmv3QSulO1

    Na przykład αγ na rysunku są kątami przyległymi. Pary kątów wierzchołkowych to αβ oraz γδ.

Przykład 4
R1WGDlblrZsOf1
Animacja pokazuje dwie proste przecinające się. Między nimi zaznaczona para kątów przyległych. Na jednej prostej leży punkt P. Zmieniając położenie punktu P zauważamy, że suma miar zaznaczonych kątów jest zawsze taka sama.
Suma miar kątów przyległych
Twierdzenie: Suma miar kątów przyległych

Suma miar kątów przyległych jest równa 180°.

Przykład 5
REatVqTUWir8c1
Animacja pokazuje dwie proste przecinające się. Między prostymi zaznaczona para kątów wierzchołkowych. Na jednej prostej leży punkt P. Zmieniając położenie punktu P, zmienia się wzajemne położenie ramion i wierzchołków zaznaczonych kątów. Zaznaczone kąty zawsze mają taką samą miarę.

Dowód
Wprost z twierdzenia o sumie miar kątów przyległych wynika, że

α+γ=180°

oraz

β+γ=180°.

Stąd α=β. Wynika stąd, że kąty wierzchołkowe są równe.

Kąty wierzchołkowe
Twierdzenie: Kąty wierzchołkowe

Kąty wierzchołkowe mają równe miary.

Przykład 6

Obliczmy miary kątów α, βγ zaznaczonych na rysunku.

R1bbfpjuzD3BJ1

Kąty o miarach 47°β to kąty wierzchołkowe, więc β=47°. Każdy z kątów αγ jest przyległy do kąta o mierze 47°. Zatem

α= γ=180°-47°=133°.
ihITdfMCjb_d5e390
Przykład 7

Wyznaczymy miary kątów równoległoboku ABCD.

R1XeOPhhdiQO91
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Kąty EAFDAB to kąty wierzchołkowe, mają więc równe miary.

∡DAB= ∡EAF=60°

Suma kątów równoległoboku leżących przy jednym boku jest równa 180.
Kąty DABABC leżą przy jednym boku.

∡DAB+ ∡ABC=180°
60°+ ∡ABC=180°
∡ABC=180°-60°
∡ABC=120°

W równoległoboku kąty leżące naprzeciw siebie mają równe miary.
Kąt BCD leży naprzeciw kąta DAB , kąty te mają więc równe miary.

∡BCD= ∡DAB=60°

Podobnie kąt ADC leży naprzeciw kąta ABC, kąty te mają równe miary.

∡ABC= ∡ABC=120°

Odpowiedź: Miary kątów równoległoboku są równe: 60°,60°, 120°, 120°.

ihITdfMCjb_d5e520
A
Ćwiczenie 1

Określ rodzaj kąta.

RGWkM8ebfnvm91
Animacja pokazuje kąt P Q R. Należy dla różnych miar kątów podać jego rodzaj.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
Przykład 8

Porównywanie kątów.

RrbRZjprOKOTd1
Animacja
A
Ćwiczenie 2

Narysuj dwa różne kąty i porównaj je.

A
Ćwiczenie 3

Uzupełnij zdania, korzystając z  rysunku.

RDCicdud8f0nP1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
  1. KLH jest kątem przyległym do kąta … lub do kąta ….

  2. Kąt … i kąt MLK to kąty wierzchołkowe.

  3. Suma miary kąta ZLM i  miary kąta … lub miary kąta … jest równa 180°.

A
Ćwiczenie 4

Uzupełnij zdania.

  1. Jeśli dwa kąty przyległe są równe, to miara każdego z nich jest równa …

  2. Suma kątów … jest równa kątowi półpełnemu.

classicmobile
Ćwiczenie 5

Z dwóch kątów przyległych jeden jest o 40° większy od drugiego. Kąty te mają miary

RTXSjmf271c4O
static
A
Ćwiczenie 6

Jeden z kątów przyległych ma miarę osiem razy większą od drugiego. Oblicz miary tych kątów.

A
Ćwiczenie 7

Narysuj dowolny kąt x. Ile kątów przyległych do kąta x możesz narysować?

ihITdfMCjb_d5e724
C
Ćwiczenie 8

Narysuj romb. Podaj miary kątów wierzchołkowych oraz przyległych, jakie tworzą przekątne w rombie.

A
Ćwiczenie 9

Oblicz miary kątów α, β, γ.

R1IV0sERdmOup1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 10

Oblicz miarę kąta x.

RiwO3wqZb4H3E1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 11

Określ rodzaj kąta.

RDCmQppJ0JE9e1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
  1. kąt ostry …

  2. kąt prosty …

  3. kąt rozwarty …

  4. kąt półpełny …

  5. kąt pełny …

  6. kąt wklęsły …

  7. kąt wypukły …

classicmobile
Ćwiczenie 12

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

RQs7qPYzkwvye
static
A
Ćwiczenie 13

Przesuwając punkt B, ustaw ramię kąta BSA tak, aby miara tego kąta była równa podanej wartości. Skorzystaj z kątomierza.

R1UWI5nJ23eGP1
Animacja pokazuje kąt B S A. Zmieniając położenie jednego z ramion kąta, należy przy użyciu kątomierza, skonstruować nowy kąt B S A o podanej mierze.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.