Wróć do informacji o e-podręczniku Udostępnij materiał Wydrukuj

W przypadku kątów wierzchołkowych i przyległych, przekonaliśmy się, że nie zawsze trzeba używać kątomierza, aby określić miarę danego kąta.
Podobna sytuacja zachodzi, gdy rozważymy kąty przy prostych równoległych przeciętych trzecią prostą.
Przybliżonym modelem takich prostych mogą być rozjazdy na torach kolejowych.

R1eWThiB04ETp1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Przykład 1
R3EYTifHVl8Xn1
Animacja pokazuje dwie proste równoległe przecięte trzecią prostą. Między prostymi zaznaczone cztery różne pary kątów odpowiadających.
Przykład 2
RGJpUlcxmNLCv1
Animacja pokazuje dwie proste równoległe przecięte trzecią prostą. Między prostymi zaznaczone cztery różne pary kątów naprzemianległych.
Kąty odpowiadające i naprzemianległe
Definicja: Kąty odpowiadające i naprzemianległe

Proste kl są przecięte prostą c.

  • Kąty: αα1,  ββ1, γγ1 oraz δδ1 to pary kątów odpowiadających.

  • Kąty α1δ oraz β1γ to pary kątów naprzemianległych wewnętrznych.

  • Kąty βγ1 oraz αδ1 to pary kątów naprzemianległych zewnętrznych.

    Rgeu2bwtCJ8GF1

igQHHsljpr_d5e152
Przykład 3
R21iLRF4VrTgI1
Animacja pokazuje dwie proste równoległe, które zostały przecięte trzecią prostą. Między prostymi zaznaczone cztery pary kątów naprzemianległych. Zmieniając położenie punktu P, leżącego na jednej z prostych równoległych, zmienia się położenie prostych równoległych i miary zaznaczonych kątów. Zaznaczone parami kąty naprzemianległe mają równe miary.
Przykład 4
R1W2I8ibWLovH1
Animacja pokazuje dwie proste równoległe a i b, które zostały przecięte trzecią prostą c. Między prostymi zaznaczona para kątów naprzemianległych alfa i beta. Na prostej a leży punkt. Zmieniając położenie punktu zmienia się położenie prostych równoległych i miary zaznaczonych kątów. Zaznaczone kąty naprzemianległe mają równe miary.
Przykład 5
R1aCSjSEsySJ41
Animacja pokazuje dwie proste równoległe a, b, które zostały przecięte trzecią prostą c. Między prostymi zaznaczona para kątów odpowiadających alfa i beta. Na prostej a leży punkt. Zmieniając położenie punktu zmieniamy położenie prostych równoległych i miary zaznaczonych kątów. Zaznaczone kąty odpowiadające mają równe miary.
Kąty przy prostych równoległych 
Twierdzenie: Kąty przy prostych równoległych 
  • Jeżeli dwie proste równoległe przetniemy trzecią prostą, to tak utworzone kąty odpowiadające są równe.

    R1I2tUoI64raX1
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

  • Jeżeli dwie proste równoległe przetniemy trzecią prostą, to tak utworzone kąty naprzemianległe wewnętrzne są równe oraz kąty naprzemianległe zewnętrzne są równe.

    R18ZZPCMdXMZf1
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

igQHHsljpr_d5e228

Równoległość prostych

Przykład 6
Rcqa8obmhDy0B1
Animacja pokazuje dwie proste a i b przecięte trzecią prostą. Należy poruszając punktem P, leżącym na prostej b, obserwować położenie prostych a i b, gdy kąty naprzemianległe lub kąty odpowiadające mają takie same miary. Zauważamy, że jeżeli kąty naprzemianległe lub kąty odpowiadające mają równe miary, to proste a i b są równoległe.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
Dwie proste przecięte trzecią prostą 
Twierdzenie: Dwie proste przecięte trzecią prostą 
  • Jeżeli dwie proste przecięte są trzecią prostą i utworzone w ten sposób kąty odpowiadające są równe, to proste te są równoległe.

  • Jeżeli dwie proste przecięte są trzecią prostą i utworzone w ten sposób kąty naprzemianległe są równe, to proste te są równoległe.

Obliczanie miar kątów przy prostych równoległych

Przykład 7

Proste pr są równoległe. Jeden z kątów wyznaczonych przez te proste ma miarę 57°. Obliczymy miary pozostałych kątów przy prostych pr.

Rfwlc4YZljxOs1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Kąt o mierze 57° i kąt 2 to kąty wierzchołkowe – ich miary są równe.

2=57°

Kąt o mierze 57° i kąt 7 to kąty odpowiadające przy prostych równoległych– ich miary są równe.

7=57°

Kąt 7 i kąt 5 to kąty wierzchołkowe – ich miary są równe.

 5=7=57°

Kąt o mierze 57° i kąt 1 to kąty przyległe. Suma ich miar jest równa 180°.

1+ 57°=180°

Więc 1=123°
Pary kątów przyległych to również:
kąt 3 i kąt 2, kąt 7 i kąt 4 oraz kąt 6 i kąt 5.
Stąd

3=4=6=123°

Odpowiedź:

2=7=5=57°
1=3=4=6=123°
igQHHsljpr_d5e326
A
Ćwiczenie 1

Podaj miary kątów przy prostych równoległych.

R1RdCLjZFy3ZL1
Animacja pokazuje dwie proste równoległe przecięte trzecią prostą. Między prostymi zaznaczone osiem kątów. Należy, znając miarę kąta beta, podać miary pozostałych siedmiu kątów.
C
Ćwiczenie 2

Proste pr są równoległe. Podaj miary kątów α, β, γ.

RxSrNtIYugFwI1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
B
Ćwiczenie 3

Proste HAGB są równoległe oraz proste KALC są równoległe.

RY4st2SOz0Vm61
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
  1. Wypisz wszystkie pary kątów naprzemianległych.

  2. Wypisz wszystkie pary kątów odpowiadających.

classicmobile
Ćwiczenie 4

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

RSV8nDDkMTZYp
static
A
Ćwiczenie 5

Czy proste pr są równoległe? Odpowiedź uzasadnij.

RcBnQxGBXGw6y1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 6

Proste równoległe ms przecina prosta w. Jeden z kątów utworzonych przez proste ws ma miarę 22°. Oblicz miary pozostałych kątów utworzonych przez proste wm.

A
Ćwiczenie 7

Proste ab są równoległe.

R1MhGqIjPdhVZ1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Oblicz 1 wiedząc, że

  1. miara kąta 2 jest o 20° większa od miary kąta 1.

  2. 2+7=200°

  3. 7-5=8°

  4. 6=108°

igQHHsljpr_d5e544
C
Ćwiczenie 8

Oblicz miary kątów równoległoboku, korzystając z własności kątów przy prostych równoległych.

R1UNNaVuDIte41
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
classicmobile
Ćwiczenie 9

Proste ab są równoległe.

Rj2V93qJowjA91
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R1MHvYx4hlmaG
static
C
Ćwiczenie 10

Uzasadnij, że:

  1. dwie proste równoległe do trzeciej prostej są do siebie równoległe

  2. dwie proste prostopadłe do tej samej prostej są do siebie równoległe

  3. przeciwległe kąty równoległoboku są równe