Wydrukuj Zapisz jako PDF Dodaj do ulubionych Udostępnij materiał
RonBQtrKgowf21
Animacja prezentuje w siedmiu krokach dowód na to, że suma miar kątów w trójkącie jest równa 180 stopni. Dany jest trójkąt A B C. Oznaczamy kąty wewnętrzne trójkąta odpowiednio alfa, beta, gamma. Rysujemy prostą równoległą do podstawy AB przechodzącą przez wierzchołek C. W wierzchołku C zaznaczamy dwa kąty zewnętrzne do kąta gamma. Są one równe miarom kątów alfa i beta trójkąta, jako kąty naprzemianległe. Suma kątów alfa, beta i gamma jest równa sumie kątów zewnętrznych i gamma, które tworzą kąt półpełny o wierzchołku C. Ich suma jest równa 180 stopni. Otrzymujemy wzór alfa + beta + gamma = 180 stopni.
Suma miar kątów trójkąta
Twierdzenie: Suma miar kątów trójkąta

Suma miar kątów trójkąta jest równa 180°.

Dowód

Rozważmy dowolny trójkąt ABC. Rysujemy prostą równoległą do boku AB, która przechodzi przez wierzchołek C.

RcfYVYxw72MBs1

Kąty δ i α są równe jako kąty naprzemianległe wewnętrznie. Podobnie ε=β.

R1AmPJkmi5vOV1

Suma miar kątów α, β, γ jest równa 180°.

Wiemy już, że suma miar kątów w trójkącie jest równa 180°. Zastanówmy się teraz, czy można znaleźć wzór na określenie sumy miar kątów dowolnego wielokąta wypukłego.
W  tym celu narysujmy kilka wielokątów i podzielmy każdy z nich na trójkąty. Poprowadzimy wszystkie przekątne z jednego wierzchołka każdego z wielokątów.

RFZ4a2sAhwhN91

Zauważmy, że liczba utworzonych trójkątów jest o 2 mniejsza od liczby wierzchołków wielokąta.
Zatem n – kąt wypukły można podzielić na (n-2) trójkąty. Suma miar kątów n- kąta jest więc równa sumie miar kątów tych trójkątów. W każdym z tych trójkątów suma miar kątów jest równa 180°.

Ciekawostka

Twierdzenie dotyczące sumy miar kątów wielokąta pozostaje również prawdziwe w przypadku, gdy wielokąt nie jest wypukły (jest wklęsły). Aby udowodnić to twierdzenie, można postąpić podobnie jak poprzednio, dzieląc wielokąt na trójkąty. Trudniej jednak opisać ten podział, gdyż nie zawsze da się podzielić wielokąt na trójkąty, wykorzystując przekątne wychodzące z jednego wierzchołka.

R1PKcHPdWWUsA1

Ten wielokąt został podzielony na 9 trójkątów, suma miar jego kątów jest równa 1620°.

Wyprowadzimy wzór na liczbę przekątnych dowolnego wielokąta wypukłego. Rozpatrzmy jeden z wierzchołków takiego wielokąta. Ile przekątnych możemy z niego poprowadzić?

R1XUtyUSMJrBH1

Ten wielokąt ma 9 wierzchołków. Z jednego wierzchołka można poprowadzić 6 przekątnych. Z wybranego wierzchołka nie można poprowadzić przekątnych do wierzchołków sąsiednich, ani do tego wybranego wierzchołka.
Niech n będzie liczbą naturalną większą od 3. Rozpatrzmy dowolny n-kąt wypukły. Ponieważ mamy n wierzchołków, a z każdego wierzchołka możemy poprowadzić n-3 przekątne, więc ze wszystkich wierzchołków możemy poprowadzić n(n-3) przekątne. Jednak w ten sposób każdą z przekątnych policzyliśmy dwukrotnie. Zatem liczba wszystkich przekątnych n-kąta wypukłego jest równa

nn-32.
RX0UCdga2CSDw1

Przekątna AB wychodzi zarówno z wierzchołka A, jak i z wierzchołka B.

 O przekątnych wielokąta
Twierdzenie:  O przekątnych wielokąta

Dowolny n-kąt wypukły ma nn-32 przekątnych, gdzie n jest liczbą naturalną większą od 3.

RswRP4ZHlCjym1
Animacja pokazuje dziewięciokąt wypukły, dla którego trzeba podać ilość przekątnych wychodzących z jednego wierzchołka, sumę miar kątów wewnętrznych oraz liczbę wszystkich przekątnych.

Przypomnimy teraz podstawowe własności związane z kątami w czworokątach.
Rozważmy dowolny równoległobok i narysujmy proste, na których leżą boki tego równoległoboku.

RvLE02rWwnnxM1

Zaznaczmy kąty odpowiadające kątowi α. Ponieważ boki równoległoboku są parami równoległe, zaznaczone na rysunku kąty odpowiadające są równe.

R18J2BHz7ymQ31

Kąty BCDα są wierzchołkowe, więc ∢BCD=α.
Oznaczmy miarę kąta ADC przez β. Miara kąta CBA także jest równa β.

RInWbS4JNmq8j1

Kąty βα są przyległe, zatem α+β=180°.

 Suma miar sąsiednich kątów wewnętrznych w równoległoboku
Twierdzenie:  Suma miar sąsiednich kątów wewnętrznych w równoległoboku

W równoległoboku suma miar sąsiednich kątów wewnętrznych jest równa 180°.

Rozważmy trapez ABCD.
Niech α, β będą kątami ostrymi w tym trapezie. Poprowadźmy proste zawierające boki tego trapezu i zaznaczmy kąty naprzemianległe do kątów αβ. Ponieważ proste ABCD są równoległe, to miary odpowiednich kątów naprzemianległych są równe.

RByAyRjy7ykhE1

Kąt CDA jest przyległy do kąta α, zatem

∢CDA=180°-α.

Kąt BCD jest przyległy do kąta β, zatem

∢BCD=180°-β.
R1DCHoMxkbm771
 Suma miar kątów przy jednym ramieniu trapezu
Twierdzenie:  Suma miar kątów przy jednym ramieniu trapezu

W trapezie suma miar kątów przy jednym ramieniu jest równa 180°.

R1B4nnrTwT1Wv1

Rozpatrzmy romb ABCD. Wykreślmy przekątną rombu jak na rysunku i zaznaczmy powstałe kąty naprzemianległe. Ponieważ proste ABCD są równoległe, to kąty naprzemianległe są równe.

RlIOj7vyW5xvn1

W rombie wszystkie boki są równe, więc trójkąt ACD jest równoramienny, a jako równoramienny ma kąty przy podstawie AC równe, czyli α=β. Przekątna AC zawiera się w dwusiecznej kąta DCBDAB. Podobnie, przekątna DB zawiera się w dwusiecznej kąta ADC(ABC).
Niech S będzie punktem przecięcia przekątnych rombu. Romb jest równoległobokiem, więc

ADS= 180°-2α2
ADS=90°-α.
R16YBLB7UzQlB1

W trójkącie ADS kąt DAS ma miarę α, a kąt ADS ma miarę 90°-α.
Zatem miara kąta ASD jest równa

180°  (α + 90° -α) = 90°.

Możemy więc sformułować twierdzenie

Kąt przecięcia przekątnych rombu
Twierdzenie: Kąt przecięcia przekątnych rombu

Przekątne rombu zawierają się w dwusiecznych jego kątów wewnętrznych i przecinają się pod kątem prostym.

Pola wielokątów

Przypomnijmy znane wzory na pola czworokątów.

  • Pole równoległoboku

P=ah,

gdzie a jest długością jednego z boków oraz h jest wysokością opuszczoną na ten bok.

RJmTmFTwBn3b51

Umieśćmy równoległobok ABCD w prostokącie AECF, jak pokazano na rysunku. Trójkąty ADFCBE są przystające, czyli

BE=DF.

Oznaczmy BE=x
Pole równoległoboku ob liczymy odejmując od pola prostokąta sumę pól trójkątów ADFCBE. Z tych trójkątów można utworzyć prostokąt o bokach h, x. Pole równoległoboku jest równe

P=a+xh-xh=ah.
RlsGBKdGAcjkU1
Animacja pokazuje przekształcenie równoległoboku A B C D o podstawie długości a i wysokości h w prostokąt A B E F o bokach a i h. Zauważamy, że pole równoległoboku jest równe polu tego prostokąta.
  • Pole trójkąta

 P=12ah,

gdzie a jest jednym z boków trójkąta, a h jest wysokością opuszczoną na ten bok.

RpU2WlsmuRenu1

Podzielmy równoległobok ABCD przekątną DB na dwa trójkąty. Zauważmy, że trójkąty ABDBCD są przystające, ponieważ mają te same długości boków. Zatem pole trójkąta jest równe połowie pola równoległoboku.

P= ah2.
R8HJBVkSgslZ11
Animacja pokazuje przekształcenie trójkąta A B C o podstawie a i wysokości h, w prostokąt A B D E o bokach a i h. Zauważamy, że pole trójkąta to połowa pola prostokąta o bokach a i h.
  • Pole trapezu

P=a+b2h,

gdzie a, b są długościami podstaw trapezu, a h jest jego wysokością.

R1bZnGVWZnbSp1

Dzielimy trapez przekątną na dwa trójkąty. Jeden z nich ma podstawę a, drugi podstawę b oraz oba mają tę samą wysokość h.

P=P1+P2=12ah+12bh=a+b2h
RuJlmFl8i3zfa1
Animacja pokazuje przekształcenie trapezu A B C D o podstawach długości a i b oraz wysokości h w równoległobok A D prim A prim D o bokach długości a +b i wysokości h. Pole trapezu to połowa pola równoległoboku o boku długości a +b i wysokości h.

Pole czworokąta wypukłego, w którym przekątne przecinają się pod kątem prostym

P=d1d22,

gdzie d1,d2 są przekątnymi tego czworokąta.

R1XJxcCq1lW1z1

Czworokąt ABCD umieścimy w prostokącie EFGH, którego boki są równoległe do przekątnych. Prostokąt EFGH jest podzielony na cztery prostokąty. Otrzymujemy cztery pary trójkątów przystających:

  • trójkąt ASD jest przystający do trójkąta DHA,

  • trójkąt CSD jest przystający do trójkąta DGC,

  • trójkąt CSB jest przystający do trójkąta BFC,

  • trójkąt ASB jest przystający do trójkąta BEA.

Pole czworokąta ABCD jest więc dwa razy mniejsze od pola prostokąta EFGH, skąd otrzymujemy

P=d1d22.