Wydrukuj Dodaj do ulubionych Udostępnij materiał Zapisz jako PDF
Już wiesz

Trójkąt równoboczny to trójkąt, którego wszystkie boki mają taką samą długość.

Przykład 1

Korzystając z linijki i cyrkla, skonstruuj trójkąt równoboczny.
Opis konstrukcji.

  • Rysujemy odcinek AB – jeden z boków trójkąta.

  • Z punktów AB kreślimy cyrklem okręgi o promieniu AB.

  • Okręgi te przecinają się w dwóch punktach. Jeden z tych punktów oznaczamy C, będzie to trzeci wierzchołek kreślonego trójkąta.

  • Rysujemy odcinki ACBC.

  • Otrzymaliśmy trójkąt ABC o równych bokach, zatem trójkąt równoboczny.

R1FPLUOlD5MQs1
Animacja
R8JHriGCyfvOu1
Animacja prezentuje w pięciu krokach konstrukcję trójkąta równobocznego. Konstrukcja tego trójkąta to jednocześnie konstrukcja kąta 60 stopni. Dane są dwa punkty A i B, które mają być wierzchołkami trójkąta równobocznego. Konstrukcja tego trójkąta to jednocześnie konstrukcja kąta 60 stopni. Kreślimy okrąg o środku w punkcie A przechodzący przez punkt B. Kreślimy okrąg o środku w punkcie B przechodzący przez punkt A. Otrzymujemy dwa punkty przecięcia tych okręgów: C i D. Trójkąty A B C oraz A B D są poszukiwanymi trójkątami równobocznymi.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Konstrukcja kąta o mierze 60°, kąta o mierze 30° oraz kąta o mierze 15°

Przypomnijmy, że w trójkącie równobocznym każdy kąt ma miarę 60°.
Jeśli chcemy uzyskać kąt o mierze 60°, wystarczy skonstruować trójkąt równoboczny.

Przykład 2

Skonstruujemy kąt o mierze 60°.
Opis konstrukcji.

  • Konstruujemy trójkąt równoboczny.

  • Zaznaczamy jeden z kątów tego trójkąta. Jest to kąt trójkąta równobocznego, ma więc miarę 60°.

RX57jCanJdVHJ1
Animacja
Przykład 3

Skonstruujemy kąt o mierze 30°.
Opis konstrukcji.
Konstruujemy trójkąt równoboczny.

  • Zaznaczamy jeden z kątów tego trójkąta. Jest to kąt trójkąta równobocznego, ma więc miarę 60°.

  • Konstruujemy dwusieczną zaznaczonego kąta.

  • Dwusieczna podzieliła kąt o mierze 60° na dwa równe kąty. Każdy z tych kątów ma więc miarę 30°. Zaznaczamy jeden z otrzymanych kątów, jest to szukany kąt.

RbHYcJwmFPA8p1
Animacja
Rn5d60Y1CSxuu1
Animacja prezentuje w trzech krokach konstrukcję kąta 30 stopni. Dany jest kąt B A C o mierze 60 stopni (na przykład jako kat trójkąta równobocznego). Konstruujemy dwusieczną UA kata B A C. Każdy z kątów B A U i U A C ma miarę 30 stopni.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
Przykład 4

Konstrukcja kąta o mierze 15°.

R1Zha7WxiDNUF1
Animacja prezentuje w trzech krokach konstrukcję kąta 15 stopni. Dany jest kąt B A C o mierze 30 stopni. Konstruujemy dwusieczną UA kata B A C. Każdy z kątów B A U i U A C ma miarę 15 stopni.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
Przykład 5
RWrDDCNROidnr1
Animacja
iMYjYKtayo_d5e207

Konstrukcja kąta o mierze 45°

Przykład 6

Skonstruujemy kąt o mierze 45°. Kąt ten znajdziemy jako połowę kąta prostego, czyli kąta o mierze 90°.
Opis konstrukcji.

  • Konstruujemy dwie proste prostopadłe.

  • Oznaczamy A – punkt przecięcia narysowanych prostych.

  • Otrzymaliśmy 4 kąty proste, każdy o wierzchołku w punkcie A.

  • Z punktu A kreślimy okrąg o dowolnym promieniu.

  • Oznaczmy B, C – punkty przecięcia okręgu z ramionami jednego z kątów.

  • Z punktów BC kreślimy okręgi o dowolnych promieniach tak, aby te okręgi przecięły się. Oznaczamy D – punkt przecięcia okręgów, leżący we wnętrzu kąta ABC.

  • Rysujemy półprostą AD – dwusieczną kąta BAC.

  • Półprosta AD podzieliła kąt BAC na dwa kąty o równych miarach. Zatem miara jednego z tych kątów, np. BAD jest równa 45°(90°:2 = 45° ).

  • Szukanym kątem jest kąt BAD.

RqvZXLmpREORh1
Animacja

Suma i różnica kątów

Konstruując kąty o mierze 30° i o mierze 45°, należało kąty o miarach odpowiednio 60°90° podzielić na dwa kąty równe. Można też zbudować kąty, których konstrukcja wymaga dodawania kątów.
Nim przejdziemy do takich konstrukcji, poznamy sposób konstrukcji kąta przystającego do danego (czyli kąta o takiej samej mierze).

Przykład 7

Dany jest kąt α. Skonstruujemy kąt przystający do tego kąta.
Opis konstrukcji

  • Oznaczamy A – wierzchołek kąta α .

  • Z punktu A kreślimy okrąg o dowolnym promieniu r.

  • Oznaczamy: C, B – punkty przecięcia okręgu z ramionami kąta α.

  • Rysujemy półprostą, która będzie jednym z ramion kąta przystającego do kąta α.

  • Oznaczmy literą K początek tej półprostej.

  • Z punktu K kreślimy okrąg o promieniu r.

  • Oznaczamy: M – punkt przecięcia okręgu z półprostą.

  • Z punktu M kreślimy okrąg o promieniu CB.

  • Oznaczamy: N – punkt przecięcia otrzymanych okręgów.

  • Rysujemy półprostą KN – jest to drugie ramię szukanego kąta.

  • Kąt MKN jest kątem przystającym do kąta α .

RYBDTjbdKMmn61
Animacja
Przykład 8

Dane są kąty α, β. Skonstruujemy kąt, który będzie sumą kątów αβ .
Opis konstrukcji

  • Rysujemy półprostą WK.

  • Konstruujemy kąt przystający do kąta α tak, aby jego wierzchołkiem był punkt W, a jednym z jego ramion była półprosta WK.

  • Na drugim ramieniu otrzymanego kąta zaznaczamy dowolny punkt P, różny od punktu W.

  • Konstruujemy kąt przystający do kąta β o wierzchołku w punkcie W tak, aby jednym z ramion kąta była półprosta WP.

  • Na drugim ramieniu kąta przystającego do kąta β obieramy dowolny punkt R – różny od punktu W.

  • Kąt KWR jest sumą kątów α, β.

RI5gnb9IhHPUI1
Animacja
Przykład 9

Skonstruujemy kąt o mierze 75°. Wykorzystajmy konstrukcję sumy kątów:

75°=45°+ 30°

Opis konstrukcji

  • Konstruujemy kąt BAC o mierze 45°.

  • Konstruujemy kąt CAD o mierze 30°, tak aby kąt BAD był sumą kątów BACCAD.

  • Kąt BAD jest sumą kątów o miarach 45°30°, jego miara jest równa 75°.

R8NppjLG5zYgC1
Animacja
iMYjYKtayo_d5e386
A
Ćwiczenie 1

Skonstruuj kwadrat, którego

  1. bok ma długość 4 cm

  2. obwód jest równy 12 cm

A
Ćwiczenie 2

W jaki sposób, mając narysowany kwadrat, uzyskać kąt o mierze 45°?

A
Ćwiczenie 3

Skonstruuj trójkąt równoboczny o boku długości

  1. 3,5 cm 

  2. 4 cm 

  3. x

A
Ćwiczenie 4

Dany jest kąt o mierze 90° i kąt o mierze 60°. Skonstruuj kąt

  1. α=150°

  2. β= 30°

  3. γ= 120°

B
Ćwiczenie 5

Skonstruuj trójkąt

  1. prostokątny równoramienny

  2. prostokątny, którego kąty ostre mają miary 30°60°

  3. którego jeden z kątów ma miarę 120°

classicmobile
Ćwiczenie 6

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

Rdr91EbGwCr6r
static
C
Ćwiczenie 7

Narysuj trójkąt równoboczny. Skonstruuj kąt  α=30°, korzystając z własności

  1. symetralnej boku trójkąta

  2. wysokości trójkąta

C
Ćwiczenie 8

Narysuj trójkąt równoboczny. Skonstruuj kąt α=120°, korzystając z

  1. własności kątów przyległych

  2. sumy odpowiednich kątów

A
Ćwiczenie 9

Skonstruuj kąt

  1. β=270°

  2. γ= 30°

  3. α= 15°

B
Ćwiczenie 10

Skonstruuj

  1. dowolny trójkąt równoramienny

  2. trójkąt o bokach długości 3 cm, 3 cm, 4 cm.

C
Ćwiczenie 11

Zbuduj trójkąt równoramienny o podstawie długości 6 cm, w którym kąt między ramionami ma miarę 60°.

B
Ćwiczenie 12

Zbuduj dowolny trójkąt prostokątny, w którym miary kątów ostrych pozostają w stosunku 1:2.

C
Ćwiczenie 13

Zbuduj romb

  1. o boku długości 5 cm i kącie ostrym 60°

  2. o boku długości a

C
Ćwiczenie 14

Zbuduj trójkąt, w którym jeden z  boków ma długość 10 cm. Kąt o mierze 60° jest przyległy do tego boku. Część dwusiecznej tego kąta zawarta w trójkącie ma długość 15 cm.

C
Ćwiczenie 15

Skonstruuj trójkąt równoramienny ABC, wiedząc, że miara kąta przy wierzchołku A wynosi 60°, a długość dwusiecznej tego kąta zawartej w trójkącie jest równa 8 cm.

C
Ćwiczenie 16

Zbuduj trapez, wiedząc, że jedna z jego podstaw ma długość  4 cm i  kąty przy tej podstawie mają miary 60°45°.

B
Ćwiczenie 17

Dane są kąty αβ , gdzie β<α . Skonstruuj kąt

  1. 2α

  2. 3α

  3. α- β

B
Ćwiczenie 18

Zbuduj trapez

  1. prostokątny

  2. równoramienny o kątach α oraz 2α