1. Calculates objects in simple combinatorics situationscombinatorics situationscombinatorics situations;
2. Objects applying rule of sumrule of sumrule of sum and rule of productrule of productrule of product (also together) for any number of activities, in situation no more difficult than:
a) calculating in how many four‑digit, odd, positive integers there is exactly one digit 1 and exactly one digit 2, b) calculating in how many four‑digit even, positive integers there is exactly one digit 0 and exactly one digit 1.
Students will work using the flipped classroom method.
In order to do this, at home they prepare information about the rule of sumrule of sumrule of sum and therule of productrule of productrule of product. Their task is also to prepare an answer for the question “what is combinatoricscombinatoricscombinatorics?”
Students discuss materials prepared at home in pairs. They compare their notes and talk about any doubts.
Three volunteer teams present information by discussing the topics:
- What does cominatorics do? - The rule of sumrule of sumrule of sum. - The rule of productrule of productrule of product.
There should occur definitions:
- Combinatorics is the theory of defining number of elements of finite sets or structures of this elements.
- The rule of sum
The number of all possible outcomes of an experiment that involves doing one of n activities, out of which the first can end in one of kIndeks dolny 11 ways, the second – in one of kIndeks dolny 22 ways, the third – in one of kIndeks dolny 33 ways and so on till n‑th activity that can end in one of kn ways, is equal to kIndeks dolny 11
- The rule of product
The number of all possible outcomes of an experiment that involves doing n activities one by one, out of which the first can end in one of kIndeks dolny 11 ways, the second – in one of kIndeks dolny 22 ways, the third – in one of kIndeks dolny 33 ways and so on till n‑th activity that can end in one of kIndeks dolny nn ways, is equal to kIndeks dolny 11· kIndeks dolny 22 · kIndeks dolny 33·…· kIndeks dolny nn.mb3128ff9791df0a8_1527752263647_0- The rule of sum
Students work individually, using computers. Their task is to watch the interactive illustration, that presents ways of applying the rule of sum and the rule of product.
[Interactive illustration]
After having completed the exercise, students present results of their observations:
- if we make a few independent partial decisions that are included in one whole choice, then we multiply the number of decisions, but if we make mutually exclusive choices, then we add the number of choices.
Based on previously prepared and discussed information, students do exercises in pairs.
Students do the revision exercises. Then together they sum‑up the classes, by formulating the conclusions to memorise.
- The rule of sum
The number of all possible outcomes of an experiment that involves doing one of n activities, out of which the first can end in one of kIndeks dolny 11 ways, the second – in one of kIndeks dolny 22 ways, the third – in one of kIndeks dolny 33 ways and so on till n‑th activity that can end in one of kIndeks dolny nn
- The rule of product
The number of all possible outcomes of an experiment that involves doing n activities one by one, out of which the first can end in one of kIndeks dolny 11 ways, the second – in one of kIndeks dolny 22 ways, the third – in one of kIndeks dolny 33 ways and so on till n‑th activity that can end in one of kIndeks dolny nn ways, is equal to kIndeks dolny 11· kIndeks dolny 22· kIndeks dolny 33·…· kIndeks dolny nn.mb3128ff9791df0a8_1527752263647_0- The rule of sum
Liczba wszystkich możliwych wyników doświadczenia, które polega na wykonaniu jednej z n czynności, z których pierwsza może zakończyć się na jeden z kIndeks dolny 11 sposobów, druga – na jeden z kIndeks dolny 22 sposobów, trzecia – na jeden z kIndeks dolny 33 sposobów i tak dalej do n - tej czynności, która może zakończyć się na jeden z kIndeks dolny nn sposobów, jest równa kIndeks dolny 11 + kIndeks dolny 22 + kIndeks dolny 33 +…+ kIndeks dolny nn.
- Reguła mnożenia
Liczba wszystkich możliwych wyników doświadczenia, które polega na wykonaniu po kolei n czynności, z których pierwsza może zakończyć się na jeden z kIndeks dolny 11 sposobów, druga – na jeden z kIndeks dolny 22 sposobów, trzecia – na jeden z kIndeks dolny 33 sposobów i tak dalej do n - tej czynności, która może zakończyć się na jeden z kIndeks dolny nn sposobów, jest równa kIndeks dolny 11 · kIndeks dolny 22 · kIndeks dolny 33 ·…· kIndeks dolny nn.
Ile jest możliwości ułożenia planu lekcji na jeden dzień, jeśli w tym dniu ma być po jednej lekcji polskiego, matematyki, historii, biologii, informatyki i języka angielskiego?
mb3128ff9791df0a8_1528449000663_0
Reguła mnożenia, reguła dodawania
mb3128ff9791df0a8_1528449084556_0
Trzeci
mb3128ff9791df0a8_1528449076687_0
XI. Kombinatoryka.
Zakres podstawowy. Uczeń:
1. Zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych;
2. Zlicza obiekty, stosując reguły mnożenia i dodawania (także łącznie) dla dowolnej liczby czynności w sytuacjach nie trudniejszych niż:
a) obliczenie, ile jest czterocyfrowych nieparzystych liczb całkowitych dodatnich takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedna cyfra 1 i dokładnie jedna cyfra 2, b) obliczenie, ile jest czterocyfrowych parzystych liczb całkowitych dodatnich takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedna cyfra 0 i dokładnie jedna cyfra 1.
mb3128ff9791df0a8_1528449068082_0
45 minut
mb3128ff9791df0a8_1528449523725_0
Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych.
mb3128ff9791df0a8_1528449552113_0
1. Zliczanie obiektów w prostych sytuacjach kombinatorycznych.
2. Zliczanie obiektów przy zastosowaniu reguły mnożenia i dodawania.
3. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.
mb3128ff9791df0a8_1528450430307_0
Uczeń:
- zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych,
- zlicza obiekty, stosując reguły mnożenia i dodawania.
mb3128ff9791df0a8_1528449534267_0
1. Metoda odwróconej klasy.
2. Dyskusja.
mb3128ff9791df0a8_1528449514617_0
1. Praca indywidualna.
2. Praca w parach.
mb3128ff9791df0a8_1528450135461_0
mb3128ff9791df0a8_1528450127855_0
Uczniowie będą pracować metodą odwróconej klasy.
W tym celu, w domu, przygotowują informacje na temat reguły dodawania i reguły mnożenia. Ich zadaniem jest również przygotowanie odpowiedzi na pytanie, co to jest kombinatoryka.
mb3128ff9791df0a8_1528446435040_0
Pracując w parach, uczniowie dyskutują nad przygotowanymi w domu materiałami. Porównują swoje notatki, dyskutują nad wątpliwościami.
Trzy chętne zespoły prezentują wiadomości, omawiając kolejno tematy:
- Czym zajmuje się kombinatoryka? - Reguła dodawania. - Reguła mnożenia.
Powinny pojawić się określenia:
- Kombinatoryka to teoria wyznaczania liczby elementów zbiorów skończonych lub układów tych elementów.
- Reguła dodawania
Liczba wszystkich możliwych wyników doświadczenia, które polega na wykonaniu jednej z n czynności, z których pierwsza może zakończyć się na jeden z kIndeks dolny 11 sposobów, druga – na jeden z kIndeks dolny 22 sposobów, trzecia – na jeden z kIndeks dolny 33 sposobów i tak dalej do n - tej czynności, która może zakończyć się na jeden z kIndeks dolny nn sposobów, jest równa kIndeks dolny 11 + kIndeks dolny 22 + kIndeks dolny 33 +…+ kIndeks dolny nn.
- Reguła mnożenia
Liczba wszystkich możliwych wyników doświadczenia, które polega na wykonaniu po kolei n czynności, z których pierwsza może zakończyć się na jeden z kIndeks dolny 11 sposobów, druga – na jeden z kIndeks dolny 22 sposobów, trzecia – na jeden z kIndeks dolny 33 sposobów i tak dalej do n - tej czynności, która może zakończyć się na jeden z kIndeks dolny nn sposobów, jest równa kIndeks dolny 11· kIndeks dolny 22· kIndeks dolny 33 ·…· kIndeks dolny nn.
Uczniowie pracują indywidualnie, korzystając z komputerów. Ich zadaniem jest zapoznanie się z ilustracją interaktywną, przedstawiającą sposób zastosowania reguły dodawania i reguły mnożenia.
[Ilustracja interaktywna]
Po skończonym ćwiczeniu przedstawiają wyniki swoich obserwacji:
- jeżeli podejmujemy kilka niezależnych decyzji częściowych, które dotyczą jednego całościowego wyboru, to liczby decyzji mnożymy, jeśli natomiast dokonujemy wykluczających się wyborów, to liczby wyborów dodajemy.
Na podstawie wcześniej przygotowanych i omówionych informacji, uczniowie, pracując w parach, rozwiązują zadania.
Polecenie 1
Ile jest możliwości ułożenia planu lekcji na jeden dzień, jeśli w tym dniu ma być po jednej lekcji polskiego, matematyki, historii, biologii, informatyki i języka angielskiego?
Polecenie 2
Na ile sposobów można ułożyć czterocyfrowy kod, utworzony jedynie za pomocą cyfr ze zbioru {2,4,6,7,8}, jeśli:
a) cyfry mogą się powtarzać, b) każda cyfra może pojawić się tylko raz.
Polecenie 3
W barze do wyboru jest 5 różnych zup, 7 rodzajów drugich dań i 4 rodzaje napojów. Ile różnych zestawów obiadowych składających się z zupy, drugiego dania i napoju, można zamówić w tym barze?
Nauczyciel ocenia pracę uczniów, wyjaśnia wątpliwości.
Polecenie dla chętnych:
Ile jest dodatnich dzielników całkowitych liczby 132300?
mb3128ff9791df0a8_1528450119332_0
Uczniowie wykonują ćwiczenia utrwalające.
Następnie wspólnie podsumowują zajęcia, formułując wiadomości do zapamiętania.
- Reguła dodawania
Liczba wszystkich możliwych wyników doświadczenia, które polega na wykonaniu jednej z n czynności, z których pierwsza może zakończyć się na jeden z kIndeks dolny 11 sposobów, druga – na jeden z kIndeks dolny 22 sposobów, trzecia – na jeden z kIndeks dolny 33 sposobów i tak dalej do n - tej czynności, która może zakończyć się na jeden z kIndeks dolny nn sposobów, jest równa kIndeks dolny 11 + kIndeks dolny 22 + kIndeks dolny 33 +…+ kIndeks dolny nn.
- Reguła mnożenia
Liczba wszystkich możliwych wyników doświadczenia, które polega na wykonaniu po kolei n czynności, z których pierwsza może zakończyć się na jeden z kIndeks dolny 11 sposobów, druga – na jeden z kIndeks dolny 22 sposobów, trzecia – na jeden z kIndeks dolny 33 sposobów i tak dalej do n - tej czynności, która może zakończyć się na jeden z kIndeks dolny nn sposobów, jest równa kIndeks dolny 11· kIndeks dolny 22· kIndeks dolny 33 ·…· kIndeks dolny nn.