Dodaj do ulubionych Udostępnij materiał Wydrukuj
RzlhVr7osJFyB1
Animacja

Życie codzienne w XXI wieku jest zdominowane przez świat liczb. Używamy ich praktycznie codziennie, na przykład gdy zapisujemy datę, numer PESEL, kiedy płacimy rachunki, podajemy wynik meczu, lub pieczemy ciasto według przepisu.

Cyfry w naszym świecie są tak powszechne i oczywiste, że mogłoby się wydawać, iż istnieją od zawsze. Nic bardziej mylnego. Zapis cyfr, z których zbudowane są liczby, zmieniał się na przestrzeni dziejów i różnych kultur.
Już w bardzo dawnych czasach pojawił się problem zapisu liczb. Nie wystarczyła sama umiejętność liczenia, trzeba było prowadzić rejestry upolowanej zwierzyny, broni, wojowników, do czego niezbędne były zapisy liczbowe.

Zapamiętaj!
  • Cyfra to umowny znak służący do zapisywania liczb. Słowo cyfra pochodzi z języka arabskiego od słowa sifr, czyli zero. Obecnie używane cyfry nazywane arabskimi tak naprawdę są pochodzenia hinduskiego.

  • Cyfry używane współcześnie upowszechniły się dopiero w epoce nowożytnej.

  • Cyfry arabskie są to znaki: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Ciekawostka

Ciekawostką jest bardzo późne pojawienie się symbolu zera, dopiero około V wieku n.e. Wynikało to z  trudności uznania zera za liczbę. Liczbę wiązano z konkretną ilością na przykład bloków kamiennych do budowy piramid, natomiast zero oznaczało nic, brak przedmiotów.

  • System liczbowy indyjsko‑arabski nazywany jest układem dziesiątkowym pozycyjnym. System dziesiątkowy oznacza, że dziesięć jednostek niższego rzędu tworzy jedną jednostkę bezpośrednio wyższego rzędu, np. dziesięć jedności tworzy jedną dziesiątkę, dziesięć dziesiątek tworzy jedną setkę.

  • Pozycyjny system oznacza, że znaczenie cyfry jest zależne od pozycji, jaką zajmuje ona w liczbie.

Przykład 1
RzhIqjXSxlU4t1
Animacja
Przykład 2
RE9zxt3ykkxSm1
Animacja
Przykład 3
R1QeeY0pxSxMt1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Zapamiętaj!

Oto kilka nazw dużych liczb:

  • 1 000 000 – milion

  • 1 000 000 000 – miliard

  • 1 000 000 000 000 – bilion

  • 1 000 000 000 000 000 – biliard

  • 1 000 000 000 000 000 000 – trylion

  • 1 000 000 000 000 000 000 000 – tryliard

iG510iijYH_d5e804

Liczby naturalne

Zapamiętaj!

Liczby naturalne to:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 

Najmniejszą liczbą naturalną jest zero.
W zbiorze liczb naturalnych nie ma liczby największej.

A
Ćwiczenie 1

Zapisz słownie każdą z liczb.

  1. 2 400 050

  2. 40 001 002

  3. 3 700 002

  4. 300 020 006 100

  5. 5 000 002 010 900

  6. 22 200 000 002

A
Ćwiczenie 2

Zapisz następujące liczby.

  1. dwadzieścia milionów pięć

  2. trzy miliardy trzy miliony trzydzieści tysięcy

  3. pięćdziesiąt bilionów miliard sto

  4. trzy tryliony dwadzieścia bilionów sto jeden

  5. jeden tryliard jeden miliard

  6. dwanaście tryliardów dwanaście bilionów sto dwadzieścia milionów dwanaście

classicmobile
Ćwiczenie 3
RlUOECggAq1Wh1
Testowanie funkcjonalności
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
static
A
Ćwiczenie 4

Odpowiedz na pytania.

  1. Ile jest wszystkich liczb dwucyfrowych?

  2. Ile jest wszystkich liczb dwucyfrowych zaczynających się od cyfry parzystej?

  3. Ile jest wszystkich liczb dwucyfrowych parzystych?

  4. Ile jest wszystkich liczb trzycyfrowych, których suma cyfr jest równa 5? Podaj te liczby.

  5. Ile jest wszystkich liczb trzycyfrowych, których iloczyn cyfr jest równy 4? Podaj te liczby.

classicmobile
Ćwiczenie 5

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R1dRbwfMrRBZ2
static
Już wiesz

Oto kilka własności działań w zbiorze liczb naturalnych. Niech a, b, c będą liczbami naturalnymi.

  • Dodawanie jest działaniem przemiennym, czyli a+b=b+a.

  • Dodawanie jest działaniem łącznym, czyli a+b+c=a+(b+c).

  • Mnożenie jest działaniem przemiennym, czyli ab=ba.

  • Mnożenie jest działaniem łącznym, czyli abc=abc.

  • W zbiorze liczb naturalnych wykonalne są działania dodawania i mnożenia, tzn. wyniki tych działań są liczbami naturalnymi.

  • Dzielenie nie jest działaniem wykonalnym w zbiorze liczb naturalnych, ponieważ wynik dzielenia może nie być liczbą naturalną.

  • Odejmowanie nie jest działaniem wykonalnym w zbiorze liczb naturalnych, ponieważ wynik odejmowania może nie być liczbą naturalną.

  • Nie można wykonać dzielenia przez liczbę 0.

Przykład 4
  • Liczba 16 jest podzielna przez 4, ponieważ 44=16. Mówimy, że liczba 4 jest dzielnikiem liczby 16.

  • Nie każdą liczbę naturalną możemy podzielić przez liczbę naturalną dodatnią bez reszty. Na przykład 16:5=3 reszta 1, ponieważ 35=1515+1=16. Zatem liczba 16 nie dzieli się przez liczbę 5 bez reszty.

  • Liczba 0 jest podzielna przez każdą liczbę naturalną z wyjątkiem 0.

iG510iijYH_d5e1134
Liczby pierwsze, liczby złożone
Definicja: Liczby pierwsze, liczby złożone

Liczbę naturalną n większą od 1 nazywamy liczbą pierwszą, jeżeli jej jedynymi dzielnikami są liczby 1n. Liczby naturalne większe od 1, które nie są liczbami pierwszymi nazywamy liczbami złożonymi. Liczby 01 nie są ani liczbami pierwszymi, ani złożonymi.

Cechy podzielności

R1bB5bcuRUQ551
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ciekawostka
  • Liczba jest podzielna przez 6, jeżeli jest podzielna przez 23.

  • Liczba jest podzielna przez 7, jeżeli od liczby powstałej przez skreślenie trzech ostatnich cyfr odejmiemy liczbę skreśloną i otrzymana liczba jest podzielna przez 7.

  • Liczba jest podzielna przez 8, jeżeli jej trzy ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 8 lub są zerami.

  • Liczba jest podzielna przez 10, jeżeli w jej rzędzie jedności jest cyfra 0.

classicmobile
Ćwiczenie 6
RZCkGYm0078fS1
Testowanie funkcjonalności
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
static
A
Ćwiczenie 7

Jaka to liczba?

  1. Najmniejsza liczba czterocyfrowa podzielna przez 3.

  2. Największa liczba trzycyfrowa podzielna przez 8.

classicmobile
Ćwiczenie 8

Zosia ponumerowała strony swego 16 kartkowego pamiętnika. Cyfrę 1 napisała

RqXFe5Wc5iKi1
static
classicmobile
Ćwiczenie 9

Aby liczba 27544 była podzielna przez 29 w miejsce kropek należy wpisać

RVwh8kndWtFNq
static
classicmobile
Ćwiczenie 10

W wyniku dzielenia pewnej liczby naturalnej przez 7 otrzymujemy 4 i reszta 2. Ta liczba to

RUtfpBO9xl3Dy
static
classicmobile
Ćwiczenie 11

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R1XVndRh81wy8
static
A
Ćwiczenie 12

W pewnym sklepie jest 127 metrów bieżących czerwonej wstążki. Pierwsza klientka chce kupić kawałki wstążki o długości 4 metry każdy, a druga kawałki wstążki o długości 5 metrów każdy.

  1. Ile kawałków wstążki może kupić każda klientka?

  2. Której klientce sklep powinien sprzedać wstążkę, aby w sklepie pozostało jak najmniej metrów wstążki?

B
Ćwiczenie 13

Na zegarze jest godzina 12:20. Którą godzinę będzie wskazywał zegar za 550 minut?

iG510iijYH_d5e1479

Największy wspólny dzielnik i najmniejsza wspólna wielokrotność

Największy wspólny dzielnik
Definicja: Największy wspólny dzielnik

Największym wspólnym dzielnikiem dodatnich liczb naturalnych ab (oznaczamy NWD(a,b)) nazywamy największą liczbę naturalną, która jest jednocześnie dzielnikiem liczby a i liczby b.

Rx4053C2ox4oV1
Animacja
Najmniejsza wspólna wielokrotność
Definicja: Najmniejsza wspólna wielokrotność

Najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb naturalnych dodatnich ab (oznaczamy NWW(a, b) nazywamy najmniejszą liczbę naturalną dodatnią, która jest podzielna przez liczbę a i liczbę b.

RCQ9vgZPX4an91
Animacja
iG510iijYH_d5e1546
A
Ćwiczenie 14

Oblicz, stosując metodę rozkładu na czynniki pierwsze.

  1. NWD(60, 90)NWW(60, 90)

  2. NWD(630, 42)NWW(630, 42)

  3. NWD(490, 385)NWW(490, 385)

A
Ćwiczenie 15

Zuzia planuje przyjęcie urodzinowe. Spodziewa się na urodzinach czterech lub pięciu koleżanek, a każdą koleżankę pragnie poczęstować taką samą liczbą ciastek. Ile co najmniej ciastek musi upiec Zuzia?

A
Ćwiczenie 16

Wychowawczyni klasy I gimnazjum otrzymała 60 długopisów i 40 notesów dla uczniów swojej klasy. Chciałaby rozdać uczniom wszystkie otrzymane przedmioty. Ilu uczniów otrzyma podarunki, jeżeli każdy uczeń ma dostać od wychowawczyni taką samą liczbę długopisów i taką samą liczbę notesów?

A
Ćwiczenie 17

W domu państwa Nowaków, zbudowanym w 2014 roku, postanowiono średnio co 4 lata wymieniać dywan w salonie, a co 3 lata odświeżać ściany, malując je nowym kolorem.

  1. W którym najbliższym roku czeka państwa Nowaków wymiana dywanu i malowanie ścian jednocześnie?

  2. Ile razy do 2055 roku może się to jeszcze wydarzyć? Kiedy to będzie?

RiCFYMDtADS2Z1
Animacja
C
Ćwiczenie 18

Skorzystaj z algorytmu Euklidesa i oblicz NWD liczb: 4290, 1210.

K
Ćwiczenie 19

Poszukaj w dostępnych źródłach informacji o liczbach doskonałych.

K
Ćwiczenie 20

Zapoznaj się z cechą podzielności liczb przez

  1. 13

  2. 17

K
Ćwiczenie 21

Poszukaj w dostępnych źródłach informacji, na czym polega schemat wyznaczania liczb pierwszych nazywany sitem Eratostenesa. Wypisz wszystkie liczby pierwsze mniejsze od 60.

K
Ćwiczenie 22

Poszukaj w dostępnych źródłach informacji, co to są liczby względnie pierwsze. Sprawdź, czy liczby 1516 są względnie pierwsze.