Temat

Definicja wartości bezwzględnej

Etap edukacyjny

Trzeci

Podstawa programowa

I. Liczby rzeczywiste. Uczeń:

7) stosuje interpretację geometryczną i algebraiczną wartości bezwzględnej, rozwiązuje równania i nierówności typu: $\left|x+4\right|=5$, $\left|x-2\right|<3$, $\left|x+3\right|\ge 4$.

Czas

45 minut

Cel ogólny

Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel.

Cele szczegółowe

1. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.

2. Poznanie definicji i własności wartości bezwzględnej.

3. Poznanie interpretacji geometrycznej wartości bezwzględnej.

Efekty uczenia

Uczeń:

- poznaje definicję i własności wartości bezwzględnej,

- poznaje interpretację geometryczną wartości bezwzględnej.

Metody kształcenia

1. Wędrujące plakaty.

2. Analiza sytuacyjna.

Formy pracy

1. Praca indywidualna.

2. Praca w małych grupach.

Etapy lekcji

Wprowadzenie do lekcji

Uczniowie, pracując w małych grupach, tworzą plakaty. Głównym tematem są liczby rzeczywiste oraz ich podzbiory.

Każda grupa otrzymała od nauczyciela arkusz papieru z pytaniem. Zapisuje odpowiedź i przekazuje plakat do uzupełnienia następnej grupie. Rund jest tyle ile grup. Po zakończonej pracy przedstawiciel każdej grupy odczytuje powstały zapis. Plakaty umieszczone są na tablicy. Nauczyciel, wspólnie z uczniami, dokonuje analizy zebranych informacji.

Realizacja lekcji

Nauczyciel informuje uczniów, że celem zajęć jest poznanie definicji i własności wartości bezwzględnej liczby rzeczywistej.

Dyskusja – jak położone są względem siebie, na osi liczbowej, liczby przeciwne? Uczniowie stawiają hipotezy. Sprawdzają je. Formułują wniosek.

Wniosek, który powinni sformułować uczniowie:

- Liczby przeciwne na osi liczbowej znajdują się po przeciwnych stronach zera w tej samej od niego odległości.

Polecenie
Uczniowie analizują Ilustrację Interaktywną pokazującą definicję i własności wartości bezwzględnej. Zapisują definicję.

Definicja

Wartością bezwzględną liczby rzeczywistej a (oznaczenie |a|) nazywamy:
- liczbę a, jeśli a jest liczbą nieujemną,
- liczbę przeciwną do a, jeśli a jest liczbą ujemną.

Zauważmy, że z definicji wartości bezwzględnej wynikają jej własności:
- wartość bezwzględna liczby jest dodatnia lub równa 0 , czyli | x | ≥ 0, dla dowolnej liczby rzeczywistej x,
- jeśli | x | = 0, to x = 0,
- wartości bezwzględne liczb przeciwnych są równe, czyli | x | = | −x | dla dowolnej liczby rzeczywistej x,
- odległość liczb a i b na osi liczbowej jest równa wartości bezwzględnej ich różnicy 
| a - b |.

Korzystając z definicji wartości bezwzględnej, uczniowie samodzielnie rozwiązują zadanie.

Polecenie
Oblicz wartość wyrażenia. Oceń, czy wynik obliczeń jest liczbą wymierną:

a) $\left|3-\sqrt{3}\right|-\left|\sqrt{3}+1,5\right|$,

b) $\left|3-\mathrm{\pi }\right|-\left|\mathrm{\pi }-3\right|$,

c) $\left|\sqrt{3}-\sqrt{5}\right|+\left|\sqrt{5}-3\right|$,

d) $3·\left|1-\sqrt{7}\right|-3\sqrt{7}$.

Dyskusja – jaka jest interpretacja geometryczna wartości bezwzględnej? Uczniowie stawiają hipotezy. Sprawdzają je. Formułują wniosek.

Wniosek, który powinni sformułować uczniowie:

- Wartość bezwzględna liczby rzeczywistej a jest równa odległości punktu o współrzędnej a od punktu zerowego na osi liczbowej.

Korzystając z powyższego wniosku, uczniowie pracując w parach, rozwiązują proste równania z wartością bezwzględną.

Polecenie
Rozwiąż równania:

a) $\left|x\right|=6$,

b) $\left|x\right|=0$,

c) $\left|x\right|=-2$.

Dyskusja – w jaki sposób obliczymy odległość między liczbami na osi liczbowej? Uczniowie stawiają hipotezy, sprawdzają je i formułują wniosek.

Wniosek:

- Odległość liczb a i b na osi liczbowej jest równa wartości bezwzględnej ich różnicy 
| a – b |.

Polecenie
Zapisz odległość na osi między danymi liczbami, używając znaku wartości bezwzględnej. Oblicz tę odległość:

a) $-3i-25$,

b) $8i2,4$,

c) $-3\sqrt{3}i5\sqrt{3}+2$,

d) $-2\sqrt{5}i3-\sqrt{5}$.

Polecenie
Oblicz wartość wyrażenia, jeśli $x=-3$:

a) $|\left|x\right|-x|$,

b) $3x·\left|x-2\right|$.

Polecenie
Podaj wartość wyrażenia:

a) $|x-4|-|x-5|,jeślix\in (-\infty ,0)$,

b) $|x-5|-|x+6|,jeślix\in (5,\infty )$,

c) $|6-x|+|3+x|,jeślix\in (-3,6)$.

Po rozwiązaniu wszystkich zadań uczniowie przedstawiają uzyskane wyniki.

Nauczyciel ocenia ich pracę i wyjaśnia wątpliwości.

Polecenie dla chętnych:
Oblicz:

a) $\sqrt{{\left(3-\sqrt{3}\right)}^2}-\sqrt{{\left(\sqrt{3}-3\right)}^2}+\sqrt{1}$,

b) $\sqrt{{\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)}^2}+\sqrt{{\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}^2}$.

Podsumowanie lekcji

Uczniowie wykonują zadania utrwalające.

Wspólnie formułują wnioski do zapamiętania.

- Wartością bezwzględną liczby rzeczywistej a nazywamy:

• liczbę a, jeśli a jest liczbą nieujemną,

• liczbę przeciwną do a, jeśli a jest liczbą ujemną.

- Wartość bezwzględna liczby rzeczywistej a jest równa odległości punktu o współrzędnej a od punktu zerowego na osi liczbowej.

- Odległość liczb a i b na osi liczbowej jest równa wartości bezwzględnej ich różnicy 
| a – b |.