Temat

Wzory skróconego mnożenia stopnia trzeciego

Etap edukacyjny

Trzeci

Podstawa programowa

II. Wyrażenia algebraiczne. Uczeń:

1) stosuje wzory skróconego mnożenia na: ${(a+b)}^2,{(a-b)}^2,a^2-b^2,{(a+b)}^3,{(a-b)}^3,a^3-b^3,a^n-b^n$.

Czas

45 minut

Cel ogólny

Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel.

Cele szczegółowe

1. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.

2. Przekształcanie wyrażeń algebraicznych.

3. Wykorzystanie wzorów skróconego mnożenia stopnia trzeciego.

Efekty uczenia

Uczeń:

- przekształca wyrażenia algebraiczne,

- wykorzystuje wzory skróconego mnożenia stopnia trzeciego.

Metody kształcenia

1. Asocjogram.

2. Analiza sytuacyjna.

Formy pracy

1. Praca indywidualna.

2. Praca w małych grupach.

Etapy lekcji

Wprowadzenie do lekcji

Nauczyciel dzieli klasę na dwie grupy. Każda z grup ma za zadanie przygotować asocjogram.

Tematem grupy pierwszej są działania na wyrażeniach algebraicznych, a grupa druga zbiera informacje na temat potęgowania. Swoje spostrzeżenia i uwagi umieszczają na specjalnych, przygotowanych przez nauczyciela plakatach. Po wykonanej pracy zespoły wymieniają się arkuszami i  dopisują  swoje propozycje.  Grupy prezentują swoje prace i wspólnie wybierają  najwłaściwsze określenia związane z podanymi zagadnieniami.

Realizacja lekcji

Nauczyciel informuje uczniów, że celem zajęć jest poznanie i stosowanie w obliczeniach wzorów skróconego mnożenia stopnia trzeciego.

Nauczyciel dzieli uczniów na dwie grupy. Każda z grup ma za zadanie wyprowadzenie wzoru na:

- Grupa pierwsza – sześcian sumy dwóch wyrażeń,

- Grupa druga - sześcian różnicy dwóch wyrażeń.

Po zakończonej pracy uczniowie prezentują uzyskane wyniki. Nauczyciel weryfikuje wypowiedzi uczniów, wyjaśnia wątpliwości. Wspólnie formułują treść wniosku.

Wniosek:

- Dla dowolnych wyrażeń a, b prawdziwe są wzory:

$(a+b{)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$ - wzór na sześcian sumy a i b,

$(a-b{)}^3=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3$ - wzór na sześcian różnicy a i b.

Nauczyciel informuje uczniów, że otrzymane przez nich zależności nazywane są wzorami skróconego mnożenia stopnia trzeciego.

Polecenie
Uczniowie pracując samodzielnie, analizują materiał przedstawiony w aplecie. Jest to ilustracja geometryczna wzoru na sześcian sumy. Po analizie apletu formułują wniosek.

[Geogebra aplet]

Wniosek:

- Graficznie można zilustrować sześcian sumy dwóch wyrażeń, jako objętość sześcianu o krawędzi długości a + b, gdzie a > 0 oraz b < 0.

Polecenie
Dyskusja – czy wyprowadzone zależności są jedynymi wzorami skróconego mnożenia stopnia trzeciego? Uczniowie stawiają hipotezy, weryfikują je analizując materiał przedstawiony na ilustracji interaktywnej. Formułują odpowiedni wniosek.

[Ilustracja interaktywna]

Wniosek:

- Istnieją jeszcze dwa wzory skróconego mnożenia stopnia trzeciego. Są to wzory na sumę i różnicę sześcianów.

$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ - wzór na sumę sześcianów a i b,

$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ - wzór na różnicę sześcianów a i b.

Uczniowie, pracując samodzielnie, wykorzystują poznane wzory w rozwiązywaniu zadań.

Polecenie
Zapisz za pomocą sum algebraicznych wyrażenia.

a) $(4-b{)}^3$

b) $(3x-5{)}^3$

c) $(\sqrt[3]{3}-2{)}^3$

Polecenie 
Wykonaj wskazane działania.

a) $(x+2)(x^2-2x+4)$

b) $(a^2+2ab+4b^2)(a-2b)$

c) $(3-x)(9+3x+x^2)$

Polecenie
Wykonaj działania i przeprowadź redukcję wyrazów podobnych.

a) $(2+a{)}^3+3(a-1{)}^3$

b) $(b+5{)}^3-(5-b\left)\right(25+5b+b^2)$

Polecenie
Rozłóż wyrażenia na czynniki co najwyżej drugiego stopnia.

a) $x^4+729x$

b) $64x-27x^4$

c) $1-x^6$

Po rozwiązaniu wszystkich zadań uczniowie przedstawiają uzyskane wyniki. Samodzielnie oceniają swoją pracę. Nauczyciel wyjaśnia wątpliwości.

Polecenie dla chętnych:
Wykaż, nie korzystając z kalkulatora, że liczba:

a) ${11}^{12}-7^{12}$ jest podzielna przez 17,

b) ${17}^{18}-{16}^{18}$ jest podzielna przez 11.

Podsumowanie lekcji

Uczniowie rozwiązują ćwiczenia utrwalające. Wspólnie formułują wnioski do zapamiętania.

- Dla dowolnych wyrażeń a, b prawdziwe są wzory:

$(a+b{)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$ - wzór na sześcian sumy a i b,

$(a-b{)}^3=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3$ - wzór na sześcian różnicy a i b.

$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ - wzór na sumę sześcianów a i b,

$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ - wzór na różnicę sześcianów a i b.