Sposoby przedstawiania funkcji
Learning objectives
You will develop the following competences: communicating in English, mathematical, IT and basic scientific and technical competence, your learning skills.
You will get to know various methods of representation of functions.
Learning effect
RPQkjI1ELUdoz nagranie abstraktu
nagranie abstraktu
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.
Recollect what you know about the function function function . The tasks below will help you.
Task 1
R1aXqXfzSOHkU nagranie abstraktu
nagranie abstraktu
Decide which of the given associations is a function.
Every person in Poland is associated with a personal identification number.
Every European country is associated with its present capital city.
Every writer is associated with the tile of the novel, he/she has written.
Every natural number is associated with its factor.
Show solution 1. Yes. 2. Yes. 3. No. 4. No.
RtVUqApNNpJAa nagranie abstraktu
nagranie abstraktu
The aim of the class is getting to know various methods of representation of functions. Think how a function can be described. An interactive presentation will help you to formulate an appropriate conclusion.
Task 2
Rc82xXC9ewI0D 1 nagranie abstraktu
nagranie abstraktu
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.
Analyse the material in the presentation. Formulate your conclusion concerning the methods of representation of functions.
R1PDCGdbUiDym 1 Pokaz interaktywny – sposoby przedstawiania funkcji. Instrukcja obsługi z poziomu klawiatury: 1. Uruchomienie aplikacji - ENTER, 2. Na każdym ze slajdów czytany jest automatycznie tekst alternatywny po polsku, 3. Przy pierwszym uruchomieniu na pierwszym slajdzie, czytanie tekstu po angielsku - TAB, 4. Przejście między slajdami: do następnego slajdu - TAB, do poprzedniego slajdu - TAB + SHIFT, 5. Przejście do czytania napisu po angielsku - strzałka w górę + strzałka w dół (czyta tekst po angielsku widoczny na slajdzie).
Pokaz interaktywny – sposoby przedstawiania funkcji. Instrukcja obsługi z poziomu klawiatury: 1. Uruchomienie aplikacji - ENTER, 2. Na każdym ze slajdów czytany jest automatycznie tekst alternatywny po polsku, 3. Przy pierwszym uruchomieniu na pierwszym slajdzie, czytanie tekstu po angielsku - TAB, 4. Przejście między slajdami: do następnego slajdu - TAB, do poprzedniego slajdu - TAB + SHIFT, 5. Przejście do czytania napisu po angielsku - strzałka w górę + strzałka w dół (czyta tekst po angielsku widoczny na slajdzie). Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.
RbGDCrT49CDGF 1 nagranie abstraktu
nagranie abstraktu
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.
A function function function can be describes with a formula, a table table table , a diagram diagram diagram or a graph.
Task 3
RjvR9d1kYTKtr 1 nagranie abstraktu
nagranie abstraktu
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.
Two sets X = 2 , 4 , 6 , 8 and Y = - 1 , 0 , 1 , 2 are given. Consider various methods of representation of function f : X → Y . Think if every diagram diagram diagram represents a function function function and if every graph represents a function. Formulate an appropriate conclusions.
R1GmhEWOWI3U8 1 nagranie abstraktu
nagranie abstraktu
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.
Analyse the material presented in the interactive figures. Justify why not every case of association association association is a function. Write down an appropriate conclusion.
RnrYJx05fObHQ Ilustracja interaktywna przedstawia cztery grafy oznaczone ponumerowanymi przyciskami od 1 do 4. Każdy z grafów zbudowany jest z dwóch elips. Graf oznaczony przyciskiem 1 – lewa elipsa oznaczona jest literą X, prawa elipsa oznaczona literą Y. W lewej elipsie znajdują się cztery punkty oznaczone liczbami dwa, trzy, cztery, pięć. W prawej elipsie znajdują się cztery punkty oznaczone liczbami siedem, osiem, dziesięć, dwa. Strzałki łączą punkty z lewej elipsy z punktami z prawej elipsy w następujący sposób: dwa – siedem, trzy – osiem, cztery – dziesięć, pięć – dwa. Graf oznaczony przyciskiem 2 – lewa elipsa oznaczona jest literą X, prawa elipsa oznaczona literą Y. W lewej elipsie znajdują się cztery punkty oznaczone liczbami dwa, trzy, cztery, pięć. W prawej elipsie znajdują się cztery punkty oznaczone liczbami siedem, osiem, dziesięć, dwa. Strzałki łączą punkty z lewej elipsy z punktami z prawej elipsy w następujący sposób: dwa – siedem, trzy – osiem, cztery – dziesięć, pięć – dziesięć. Graf oznaczony przyciskiem 3 – lewa elipsa oznaczona jest literą X, prawa elipsa oznaczona literą Y. W lewej elipsie znajdują się cztery punkty oznaczone liczbami dwa, trzy, cztery, pięć. W prawej elipsie znajdują się cztery punkty oznaczone liczbami siedem, osiem, dziesięć, dwa. Strzałki łączą punkty z lewej elipsy z punktami z prawej elipsy w następujący sposób: dwa – siedem, trzy – osiem, cztery – dziesięć. Graf oznaczony przyciskiem 4 – lewa elipsa oznaczona jest literą X, prawa elipsa oznaczona literą Y. W lewej elipsie znajdują się cztery punkty oznaczone liczbami dwa, trzy, cztery, pięć. W prawej elipsie znajdują się cztery punkty oznaczone liczbami siedem, osiem, dziesięć, dwa. Strzałki łączą punkty z lewej elipsy z punktami z prawej elipsy w następujący sposób: dwa – osiem, trzy – siedem, pięć – dziesięć, pięć – dwa. Na ilustracji widoczne są numery, a na nich podpisy. 1. This diagram presents a function {audio}, 2. This diagram presents a function {audio}, 3. This diagram doesn’t present a function {audio}, 4. This diagram doesn’t present a function {audio}.
Ilustracja interaktywna przedstawia cztery grafy oznaczone ponumerowanymi przyciskami od 1 do 4. Każdy z grafów zbudowany jest z dwóch elips. Graf oznaczony przyciskiem 1 – lewa elipsa oznaczona jest literą X, prawa elipsa oznaczona literą Y. W lewej elipsie znajdują się cztery punkty oznaczone liczbami dwa, trzy, cztery, pięć. W prawej elipsie znajdują się cztery punkty oznaczone liczbami siedem, osiem, dziesięć, dwa. Strzałki łączą punkty z lewej elipsy z punktami z prawej elipsy w następujący sposób: dwa – siedem, trzy – osiem, cztery – dziesięć, pięć – dwa. Graf oznaczony przyciskiem 2 – lewa elipsa oznaczona jest literą X, prawa elipsa oznaczona literą Y. W lewej elipsie znajdują się cztery punkty oznaczone liczbami dwa, trzy, cztery, pięć. W prawej elipsie znajdują się cztery punkty oznaczone liczbami siedem, osiem, dziesięć, dwa. Strzałki łączą punkty z lewej elipsy z punktami z prawej elipsy w następujący sposób: dwa – siedem, trzy – osiem, cztery – dziesięć, pięć – dziesięć. Graf oznaczony przyciskiem 3 – lewa elipsa oznaczona jest literą X, prawa elipsa oznaczona literą Y. W lewej elipsie znajdują się cztery punkty oznaczone liczbami dwa, trzy, cztery, pięć. W prawej elipsie znajdują się cztery punkty oznaczone liczbami siedem, osiem, dziesięć, dwa. Strzałki łączą punkty z lewej elipsy z punktami z prawej elipsy w następujący sposób: dwa – siedem, trzy – osiem, cztery – dziesięć. Graf oznaczony przyciskiem 4 – lewa elipsa oznaczona jest literą X, prawa elipsa oznaczona literą Y. W lewej elipsie znajdują się cztery punkty oznaczone liczbami dwa, trzy, cztery, pięć. W prawej elipsie znajdują się cztery punkty oznaczone liczbami siedem, osiem, dziesięć, dwa. Strzałki łączą punkty z lewej elipsy z punktami z prawej elipsy w następujący sposób: dwa – osiem, trzy – siedem, pięć – dziesięć, pięć – dwa. Na ilustracji widoczne są numery, a na nich podpisy. 1. This diagram presents a function {audio}, 2. This diagram presents a function {audio}, 3. This diagram doesn’t present a function {audio}, 4. This diagram doesn’t present a function {audio}.
Diagrams
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.
R1O130H1xIESF Ilustracja interaktywna przedstawia dwa układy współrzędnych oznaczone ponumerowanymi przyciskami. W każdym z układów narysowany jest przykładowy wykres. Wykres oznaczony przyciskiem 1 składa się z czterech połączonych ze sobą odcinków. Zaczyna się odcinkiem równoległym do osi Ox i znajdującym się w czwartej ćwiartce układu współrzędnych. Kolejny odcinek jest nachylony biegnie poniżej osi Ox do trzeciej ćwiartki i kończy się na osi Oy. Trzeci odcinek biegnie ku górze przez drugą i trzecią ćwiartkę tworząc z poprzednim odcinkiem kształt podobny do litery V. Ostatni odcinek jest równoległy do osi Ox i znajduje się w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych. Wykres oznaczony przyciskiem 2 składa się z dwóch odcinków i fragmentu okręgu. Zaczyna się odcinkiem równoległym do osi Ox i znajdującym się w czwartej i pierwszej ćwiartce układu współrzędnych. Następny fragment to fragment okręgu, na jego drugim końcu zaczyna się drugi odcinek, który "zawraca" w układzie współrzędnych. Jest on równoległy do osi Ox, znajduje się w drugiej i trzeciej ćwiartce układu współrzędnych, na większości swojej długości bezpośrednio pod odcinkiem pierwszym. Na ilustracji widoczne są numery, a na nich podpisy. 1. This is a graph of a function {audio}, 2. This isn’t a graph of a function {audio}.
Ilustracja interaktywna przedstawia dwa układy współrzędnych oznaczone ponumerowanymi przyciskami. W każdym z układów narysowany jest przykładowy wykres. Wykres oznaczony przyciskiem 1 składa się z czterech połączonych ze sobą odcinków. Zaczyna się odcinkiem równoległym do osi Ox i znajdującym się w czwartej ćwiartce układu współrzędnych. Kolejny odcinek jest nachylony biegnie poniżej osi Ox do trzeciej ćwiartki i kończy się na osi Oy. Trzeci odcinek biegnie ku górze przez drugą i trzecią ćwiartkę tworząc z poprzednim odcinkiem kształt podobny do litery V. Ostatni odcinek jest równoległy do osi Ox i znajduje się w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych. Wykres oznaczony przyciskiem 2 składa się z dwóch odcinków i fragmentu okręgu. Zaczyna się odcinkiem równoległym do osi Ox i znajdującym się w czwartej i pierwszej ćwiartce układu współrzędnych. Następny fragment to fragment okręgu, na jego drugim końcu zaczyna się drugi odcinek, który "zawraca" w układzie współrzędnych. Jest on równoległy do osi Ox, znajduje się w drugiej i trzeciej ćwiartce układu współrzędnych, na większości swojej długości bezpośrednio pod odcinkiem pierwszym. Na ilustracji widoczne są numery, a na nich podpisy. 1. This is a graph of a function {audio}, 2. This isn’t a graph of a function {audio}.
Diagrams
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.
R1XKbWLAN34FA 1 nagranie abstraktu
nagranie abstraktu
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.
Not every diagram diagram diagram or graph presents a function.
A graph will present a function if every line parallel to OY axis has at most one interception point with the graph.
A diagram presents a function when every element in set X is related to only one element in set Y.
Use the information to solve the tasks.
Task 4
R1eiQQKlTM2Le 1 nagranie abstraktu
nagranie abstraktu
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.
The function described with this table table table is given. Give the formula of the function and draw its graph.
Show solution Task 5
RzEnlpoH6WRb5 1 nagranie abstraktu
nagranie abstraktu
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.
Function function Function f : x → - 3 x , where x ∈ - 2 , - 1 , 0 , 2 , 4 is given. Give a verbal description of this function.
Task 6
R1RgP9cXhRY2u 1 nagranie abstraktu
nagranie abstraktu
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.
A verbal description of function f is given. Write the formula of this function. Function f associates every real number to its cube decreased by four.
Show solution Task 7
RhytvgtY9k5Hq 1 nagranie abstraktu
nagranie abstraktu
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.
Draw the graph of function function function f , which associates every number in set x ∈ { − 5 , − 4 , − 3 , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } to the absolute value of this number increased by 3.
Task 8
RN5SGyyLSTIxt 1 nagranie abstraktu
nagranie abstraktu
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.
Function f associates every number x ∈ 1 , 6 , 13 , 22 to the square root of the number greater than it by three. Draw the graph of this function and write its formula.
Show solution Task 9
An extra task:
Check (doing the calculations) which of points: A ( − 3 , 2 ) , B ( 0 , 1 ) , C ( 2 , 3 ) , D ( 1 , 2 ) are included in the graph of function f ( x ) = 2 .
Show solution R12HgOOyAlu7v 1 nagranie abstraktu
nagranie abstraktu
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.
Having finished all the tasks, do the consolidation tasks.
Remember:
A function function function can be describes with a formula, a table table table , a diagram diagram diagram or a graph.
Not every diagram or graph presents a function. A graph will present a function if every line parallel to OY axis has at most one interception point with the graph. A diagram presents a function when every element in set X is related to only one element in set Y.
Exercises Exercise 1
R15jDl6tXHX6a Wersja alternatywna ćwiczenia: Determine which sentences are true. Możliwe odpowiedzi: 1. Function g , which associates every real number, different to zero, to its reciprocal, can be expressed with formula g x = 1 x . , 2. The association, which associates the names of the days of the week to the number of classes in a given day, is a function. , 3. The area of a square is a function of the length of its side. , 4. Function f , which associates every real number to its square increased by 2, can be expressed with formula f x = x + 2 2 .
Wersja alternatywna ćwiczenia: Determine which sentences are true. Możliwe odpowiedzi: 1. Function g , which associates every real number, different to zero, to its reciprocal, can be expressed with formula g x = 1 x . , 2. The association, which associates the names of the days of the week to the number of classes in a given day, is a function. , 3. The area of a square is a function of the length of its side. , 4. Function f , which associates every real number to its square increased by 2, can be expressed with formula f x = x + 2 2 .
Determine which sentences are true.
Function g , which associates every real number, different to zero, to its reciprocal, can be expressed with formula g x = 1 x .
The association, which associates the names of the days of the week to the number of classes in a given day, is a function.
The area of a square is a function of the length of its side.
Function f , which associates every real number to its square increased by 2, can be expressed with formula f x = x + 2 2 .
zadanie
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.
Exercise 2
Function f ( x ) = - 3 x 2 - 2 , where x ∈ - 2 , - 1 , 0 , 3 , 4 is given. Make the table table table and the graph of this function.
Exercise 3
Function f associates every real number to the product of this number by three , increased by the square of this number. Describe in English how to make the table for this function.
Exercise 4
RsZTH6nZnYBHw Wersja alternatywna ćwiczenia: Indicate which pairs of expressions or words are translated correctly. Możliwe odpowiedzi: 1. funkcja - function , 2. graf - diagram , 3. opis słowny funkcji - verbal description of the function , 4. wykres funkcji - graph of the function , 5. przyporządkowanie - table , 6. tabelka - association
Wersja alternatywna ćwiczenia: Indicate which pairs of expressions or words are translated correctly. Możliwe odpowiedzi: 1. funkcja - function , 2. graf - diagram , 3. opis słowny funkcji - verbal description of the function , 4. wykres funkcji - graph of the function , 5. przyporządkowanie - table , 6. tabelka - association
Indicate which pairs of expressions or words are translated correctly.
funkcja - function
graf - diagram
opis słowny funkcji - verbal description of the function
wykres funkcji - graph of the function
przyporządkowanie - table
tabelka - association
zadanie
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.
RYUkXpiNPjuzX 1 Interaktywna gra, polegająca na łączeniu wyrazów w pary w ciągu jednej minuty. Czas zaczyna upływać wraz z rozpoczęciem gry. Jeden ruch to odkrywanie najpierw jednej potem drugiej karty z wyrazem. Każdy wyraz jest odczytywany. Kolejny ruch to odkrywanie trzeciej i czwartej karty. W ten sposób odsłuchasz wszystkie wyrazy. Nawigacja z poziomu klawiatury za pomocą strzałek, odsłuchiwanie wyrazów enterem lub spacją. Znajdź wszystkie pary wyrazów.
Interaktywna gra, polegająca na łączeniu wyrazów w pary w ciągu jednej minuty. Czas zaczyna upływać wraz z rozpoczęciem gry. Jeden ruch to odkrywanie najpierw jednej potem drugiej karty z wyrazem. Każdy wyraz jest odczytywany. Kolejny ruch to odkrywanie trzeciej i czwartej karty. W ten sposób odsłuchasz wszystkie wyrazy. Nawigacja z poziomu klawiatury za pomocą strzałek, odsłuchiwanie wyrazów enterem lub spacją. Znajdź wszystkie pary wyrazów.
Match Polish terms with their English equivalents.
graf
function
association
wykres funkcji
opis słowny funkcji
diagram
przyporządkowanie
verbal description of the function
funkcja
graph of the function
Source: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Glossary association association
przyporządkowanie
RSqaQqWlA9En6 1 wymowa w języku angielskim: association
wymowa w języku angielskim: association
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.
diagram diagram
graf
RAcE9Xa4XQK5B 1 wymowa w języku angielskim: diagram
wymowa w języku angielskim: diagram
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.
function function
funkcja
RVbnhRdATs5AP 1 wymowa w języku angielskim: function
wymowa w języku angielskim: function
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.
graph of the function graph of the function
wykres funkcji
RdYv7YcfIS8cR 1 wymowa w języku angielskim: graph of the function
wymowa w języku angielskim: graph of the function
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.
table table
tabelka
R66d9qbAlw5HF 1 wymowa w języku angielskim: table
wymowa w języku angielskim: table
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.
verbal description of the function verbal description of the function
opis słowny funkcji
R1dlcmdwMCBaX 1 wymowa w języku angielskim: verbal description of the function
wymowa w języku angielskim: verbal description of the function
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.
Keywords association association association
diagram diagram diagram
function function function
graph of the function graph of the function graph of the function
verbal description of the function verbal description of the function verbal description of the function