Wydrukuj Zapisz jako PDF Dodaj do ulubionych Udostępnij materiał

Miejsca zerowe funkcji kwadratowej

Przypomnijmy, że miejsce zerowe funkcji to taki jej argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość 0.

Przykład 1
RxS01IzH3zeDI1
Animacja prezentuje wykresy różnych funkcji kwadratowych w układzie współrzędnych. Należy z wykresu odczytać czy funkcja ma jedno, dwa czy brak miejsc zerowych.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
Przykład 2

Znajdziemy miejsca zerowe funkcji

  1. fx=x-3x+2

  2. fx=2x+13x-12

  3. fx=-11x+68-x

  4. fx=25-x4x+7

Rozwiązanie
Iloczyn ab jest równy 0 wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy 0.
ab=0 wtedy i tylko wtedy, gdy a=0 lub b=0.

  1. x-3x+2=0 wtedy i tylko wtedy, gdy x-3=0 lub x+2=0. Stąd x=3 lub x=-2.
    Funkcja fx=x-3x+2 ma 2 miejsca zerowe 3-2.

  2. 2x+13x-12=0 wtedy i tylko wtedy, gdy 2x+1=0 lub 3x-12=0. Stąd x=-12 lub x=4. Funkcja fx=2x+13x-12 ma 2miejsca zerowe -124.

  3. -11x+68-x wtedy i tylko wtedy, gdy x+6=0 lub 8-x=0. Stąd x=-6 lub x=8.
    Funkcja fx=-11x+68-x ma 2 miejsca zerowe -68.

  4. 25-x4x+7=0 wtedy i tylko wtedy, gdy 5-x=0 lub 4x+7=0. Stąd x=5 lub x=-74.
    Funkcja fx=25-x4x+7 ma 2miejsca zerowe 5-74.

Przykład 3

Szkicując wykres funkcji f w układzie współrzędnych, znajdujemy takie punkty x,y, w których x jest argumentem i y=f(x). Wobec tego do opisu funkcji f stosujemy często zapis y=fx, gdzie fx jest wzorem określającym funkcję f. Na przykład możemy pisać fx=2x2+1, a także y=2x2+1.

igOAxoUD0e_d5e154
Przykład 4

Znajdziemy miejsca zerowe funkcji kwadratowej

  1. y=x2-7x

  2. y=x2-25

  3. y=x2+2x+1

  4. y=x2+2x+4

Rozwiązanie

  1. Wzór funkcji y=x2-7x przekształcamy do postaci y=xx-7. Wynika z tego, że y=0 wtedy i tylko wtedy, gdy xx-7=0. Zatem x=0 lub x-7=0, stąd x=0 lub x=7.
    Funkcja y=x2-7x ma więc dwa miejsca zerowe 0 oraz 7.

  2. Wzór funkcji y=x2-25 przekształcamy do postaci y=x+5x-5. Zatem y=0 wtedy i tylko wtedy, gdy x-5x+5=0. Wobec tego x-5=0 lub x+5=0, stąd x=5 lub x=-5.
    Funkcja y=x2-25 ma więc dwa miejsca zerowe 5 oraz 5.

  3. Wzór funkcji y=x2+2x+1 przekształcamy do postaci y=x+12. Wobec tego y=0 wtedy i tylko wtedy, gdy x+12=0. Zatem x+1=0, stąd x=-1.
    Funkcja y=x2+2x+1 ma więc jedno miejsce zerowe 1.

  4. Wzór funkcji y=x2+2x+4 przekształcamy do postaci y=x+12+3. Zauważmy, że zbiorem wartości funkcji y=x+12+3 jest 3,+, więc nie ma takiej liczby rzeczywistej x, dla której ta funkcja przyjmuje wartość 0. Oznacza to, że funkcja y=x2+2x+4 nie ma miejsc zerowych.

Zauważmy, że wzór każdej z funkcji

y=x2-7x, y=x2-25, y=x2+2x+1

można było zapisać jako iloczyn dwóch czynników liniowych

y=x2-7x=xx-7, y=x2-25=x-5x+5, y=x2+2x+1=x+12,

co pozwoliło na wyznaczenie wszystkich miejsc zerowych każdej z nich.
Gdyby wzór funkcji y=x2+2x+4 można było również zapisać w postaci iloczynu czynników liniowych, to funkcja ta miałaby miejsca zerowe. Jednak ta funkcja nie ma miejsc zerowych, co stwierdziliśmy, zapisując ją w postaci kanonicznej y=x+12+3 i odczytując jej zbiór wartości. Zatem jej wzoru nie da się zapisać w postaci iloczynu czynników liniowych.

Przykład 5

Znajdziemy miejsca zerowe funkcji kwadratowej y=x2+8x-9.
Rozwiązanie

  • sposób I

Zauważmy, że dla x=1 otrzymujemy y=12+81-9=0, więc liczba 1 jest miejscem zerowym danej funkcji.
Jeśli ta funkcja ma jeszcze inne miejsce zerowe, to jest ono również rozwiązaniem równania x2+8x-9=0.
Korzystając z tego, że 12+81-9=0, zapiszemy to równanie w postaci

x2+8x-9=12+81-9

i przekształcimy równoważnie

x2-12+8x-81-9+9=0
x-1x+1+8x-1=0
x-1x+1+8=0
x-1x+9=0.

Wobec tego x-1=0 lub x+9=0, stąd x=1 lub x=-9.
Zatem funkcja y=x2+8x-9 ma dwa miejsca zerowe 1 oraz  9.

  • Sposób II

Wzór funkcji y=x2+8x-9 zapisujemy w postaci kanonicznej

y=x+42-25

i przekształcamy równoważnie

y=x+42-52
y=x+4-5x+4+5
y=x-1x+9.

Funkcję y=x2+8x-9 można zatem zapisać w postaci iloczynu dwóch czynników liniowych y=x-1x+9, więc ma ona dwa miejsca zerowe 1 oraz  9.

Przykład 6

Pokażemy, że 1 jest miejscem zerowym funkcji kwadratowej y=3x2+14x+11 i znajdziemy drugie miejsce zerowe tej funkcji.
Sprawdzamy, że dla x=-1 jest y=3-12+14-1+11=3-14+11=0, więc 1 jest miejscem zerowym funkcji y=3x2+14x+11.
Podamy teraz dwa sposoby poszukiwania drugiego miejsca zerowego.

  • sposób I

Przekształcamy wzór funkcji

y=3x2+14x+11=3x2+3x+11x+11

skąd

y=3xx+1+11x+1

czyli

y=x+13x+11

Zatem drugim miejscem zerowym jest -113.

  • sposób II

Wykorzystamy spostrzeżenie, że gdyby wzór funkcji y=3x2+14x+11 można było zapisać w postaci iloczynu dwóch czynników liniowych, to jednym z nich musiałby być czynnik liniowy, którego miejscem zerowym jest 1.
Załóżmy, że jest nim czynnik x+1.
Powinniśmy więc znaleźć takie wartości współczynników ab, aby dla każdej liczby rzeczywistej x zachodziła ta równość

y=3x2+14x+11=x+1ax+b.

Ale

x+1ax+b=ax2+ax+bx+b=ax2+a+bx+b

Równość

y=3x2+14x+11=ax2+a+bx+b

zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy a=3b=11.
Wobec tego wzór funkcji kwadratowej y=3x2+14x+11 można zapisać równoważnie w postaci iloczynu dwóch czynników liniowych y=x+13x+11. Stąd wynika, że dana funkcja ma dwa miejsca zerowe -1 oraz -113.
Zauważmy jeszcze, że po wyłączeniu liczby 3 przed nawias można wzór danej funkcji zapisać jako

y=3x+1x+113.
Przykład 7

Wykażemy, że funkcja y=5x2-10x+11 nie ma miejsc zerowych.
Przekształcając wzór funkcji do postaci kanonicznej, otrzymujemy

y=5x2-10x+11=5x-12+6.

Ponieważ dana funkcja nie przyjmuje wartości mniejszych od 6, więc nie ma miejsc zerowych.

Przykład 8

Znajdziemy, o ile istnieją, miejsca zerowe funkcji y=x2-8x+5.
Wzór tej funkcji również zapiszemy w postaci kanonicznej.
Mamy wtedy

y=x2-8x+5=x-42-11.

Wobec tego funkcja y=x2-8x+5 każdą z wartości większych od –11 przyjmuje dla dwóch różnych argumentów, ma więc dwa różne miejsca zerowe.
Wyznaczymy te miejsca zerowe, zapisując wzór funkcji w postaci iloczynu dwóch czynników liniowych. Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.

y=x-42-11
y=x-42-112
y=x-4+11x-4-11

Wynika z tego, że funkcja y=x2-8x+5 ma dwa różne miejsca zerowe 4-11 oraz 4+11.

igOAxoUD0e_d5e374

Liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowej. Postać iloczynowa funkcji kwadratowej

Każdą funkcję kwadratową, daną w postaci ogólnej wzorem fx=ax2+bx+c, można zapisać w postaci kanonicznej fx=ax+b2a2-Δ4a. Stąd mamy fx=ax+b2a2-Δ4a2.
Wynika z tego, że

  • jeżeli wyróżnik jest ujemny, to wyrażenie x+b2a2-Δ4a2 jest dodatnie, więc w tym przypadku funkcja f nie ma miejsc zerowych,

  • jeżeli Δ=0, to fx=ax+b2a2. Jedynym miejscem zerowym funkcji f jest -b2a,

  • jeżeli Δ>0, to wzór funkcji f można przekształcić następująco

fx=ax+b2a2-Δ4a2=ax+b2a2-Δ2a2=ax+b2a-Δ2ax+b2a+Δ2a

w tym przypadku funkcja f ma więc dwa różne miejsca zerowe -b+Δ2a oraz  -b-Δ2a.
Istnienie i liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowej zależy zatem od znaku jej wyróżnika.

Liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowej
Twierdzenie: Liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowej

Funkcja kwadratowa f określona wzorem fx=ax2+bx+c, a0

  • ma dwa różne miejsca zerowe rzeczywiste x1x2 wtedy i tylko wtedy, gdy jej wyróżnik jest dodatni.
    Wówczas wzór funkcji f można zapisać w postaci iloczynowej fx=ax-x1x-x2,
    gdzie x1=-b+Δ2a oraz x2=-b-Δ2a.

  • ma dokładnie jedno miejsce zerowe x0 wtedy i tylko wtedy, gdy = 0. W tym przypadku wzór funkcji f można zapisać w postaci iloczynowej fx=ax-x02, gdzie x0=-b2a.

  • nie ma pierwiastków rzeczywistych wtedy i tylko wtedy, gdy Δ<0. Wtedy wzoru funkcji f nie można zapisać w postaci iloczynowej.

R1JaRh7dzYPQy1
E-podręczniki z matematyki
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
igOAxoUD0e_d5e452
A
Ćwiczenie 1
R168n83vJNobS1
E-podręczniki z matematyki
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
classicmobile
Ćwiczenie 2

Funkcje f, gh dane są wzorami
fx=x-12x+2 
gx=3x+1x-5 
hx=-2x+4x-3 
Wówczas

RODrkEfcGig2g
static
A
Ćwiczenie 3

Na każdym z poniższych rysunków przedstawiony jest fragment wykresu funkcji kwadratowej, przy czym na jednym z nich jest wykres funkcji f, na innym – wykres funkcji g, a na jeszcze innym – wykres funkcji h.
Funkcje te określone są wzorami:
fx=x+1x-3, 
gx=2x+1x+3, 
hx=-12x+3x-1. 
Na którym rysunku jest wykres funkcji f, na którym wykres funkcji g, a na którym – wykres funkcji h?

R1E9ZLupZ7TAV1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
classicmobile
Ćwiczenie 4

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R1IvP2LVPKCPb
static
classicmobile
Ćwiczenie 5

Na każdym z poniższych rysunków przedstawiony jest fragment wykresu funkcji kwadratowej

1.

RxG5kTzDNZGyH1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

2.

R8Deu9AUjg3lA1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

3.

R1Ow8OHAHnUeH1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

4.

RxW6q5gwsvBWS1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rozpatrzmy funkcje określone wzorami: fx=x2-1, gx=x2+3x, hx=x2+4x+4, kx=-x2+2x+3. Wówczas

R1XX4NFRh1osR
static
classicmobile
Ćwiczenie 6

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

RgHoohZZkCDDJ
static
igOAxoUD0e_d5e758
classicmobile
Ćwiczenie 7

Funkcja kwadratowa f określona jest wzorem fx=x2+4x+c. Wówczas

RgEXrjkTSjJ6n
static
A
Ćwiczenie 8
RrrESGxuCBxKs1
Zadanie interaktywne
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
classicmobile
Ćwiczenie 9

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

RRoFOtBZn7FYq
static
classicmobile
Ćwiczenie 10

Miejsca zerowe funkcji kwadratowej y=2x+3x-5 to

R1Kkf1cld1TOG
static
classicmobile
Ćwiczenie 11

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej f.

R13wGu5Kus2PO1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Funkcja f jest określona wzorem

RAMAa2DIVq2sk
static
classicmobile
Ćwiczenie 12

Wskaż wzór funkcji kwadratowej, której miejsca zerowe są liczbami o przeciwnych znakach.

RJoK05ZymYH3r
static
classicmobile
Ćwiczenie 13

Funkcje liniowe fg są określone wzorami fx=12x-1 oraz gx=x+1. Wskaż rysunek, na którym przedstawiony jest wykres funkcji y=fxgx.

RpDiGXa7CnVvo
Wybierz jedno nowe słowo poznane podczas dzisiejszej lekcji i ułóż z nim zdanie.
static
igOAxoUD0e_d5e1068
classicmobile
Ćwiczenie 14

Miejsca zerowe funkcji kwadratowej f określonej wzorem fx=-x2-6x-5 to

R1eio2RmZYGzD
static
classicmobile
Ćwiczenie 15

Wskaż wzór funkcji kwadratowej, której miejscami zerowymi są liczby 2 oraz 12.

R1bNGGIFGDrUF
static
classicmobile
Ćwiczenie 16

Do wykresu funkcji kwadratowej y=3x2-28x-31należy punkt

Rb1sZt8Q7Fi74
static
classicmobile
Ćwiczenie 17

Jednym z miejsc zerowych funkcji f określonej wzorem fx=-x2+bx+10 jest liczba -2. Wówczas liczba b jest równa

REo7IvzWUglkY
static
classicmobile
Ćwiczenie 18

Funkcja f określona wzorem fx=-x2+4x+c nie ma miejsc zerowych wtedy i tylko wtedy, gdy

RAIVuzuNzWTa4
static
A
Ćwiczenie 19

Wyznacz miejsca zerowe funkcji.

  1. y=-6xx+2

  2. y=7-xx+11

  3. y=3x+84x-1

  4. y=15-5x16x+10

A
Ćwiczenie 20

Podana funkcja ma dwa miejsca zerowe x1,x2. Zapisz jej wzór w postaci iloczynowej y=ax-x1x-x2.

  1. y=2x2-22x

  2. y=-3x2+48

  3. y=9x2-49

  4. y=25x2+15x

A
Ćwiczenie 21

Wykaż, że podana funkcja ma dokładnie jedno miejsce zerowe. Wyznacz to miejsce zerowe.

  1. y=x2+4x+4

  2. y=-x2+2x-1

  3. y=3x2+30x+75

  4. y=-2x2+12x-18

igOAxoUD0e_d5e1428
A
Ćwiczenie 22

Na każdym z poniższych rysunków przedstawiony jest fragment wykresu funkcji kwadratowej mającej dwa różne miejsca zerowe x1,x2. Zapisz wzór każdej z tych funkcji w postaci iloczynowej y=ax-x1x-x2.

  1. RaeDK3Zh6Dcpe1
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

  2. RraHpaEc0JOZr1
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

  3. RQLMJHEY0CXoT1
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

  4. Rpjyds2C5CqMx1
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

A
Ćwiczenie 23

Wykaż, że funkcja nie ma miejsc zerowych.

  1. y=x2+x+2

  2. y=x2-3x+3

  3. y=2x2-x+5

  4. y=-x2+5x-8

A
Ćwiczenie 24

Wyznacz miejsca zerowe funkcji.

  1. y=2x2+3x-5

  2. y=4x2-15x-19

  3. y=-3x2-14x-8

  4. y=-5x2+11x-2

A
Ćwiczenie 25

Funkcja f określona wzoremfx=6x2+x-1 ma dwa różne miejsca zerowe. Wykaż, że żadne z nich nie jest liczbą całkowitą.

A
Ćwiczenie 26

Liczby x1 oraz x2 są miejscami zerowymi funkcji y=24x2-2x-15, przy czym x1<x2. Oblicz 4x1+6x2.

A
Ćwiczenie 27

Wyznacz miejsca zerowe funkcji.

  1. y=x2-4x-6

  2. y=x2+2x-5

  3. y=-x2+6x+11

  4. y=-x2-8x+7

A
Ćwiczenie 28

Funkcja f określona wzorem fx=2x2+4x-7 ma dwa różne miejsca zerowe x1,x2. Oblicz sumę x1+x2 oraz iloczyn x1x2.

A
Ćwiczenie 29

Funkcja kwadratowa fx=3x2-6x-1 ma dwa różne miejsca zerowe. Wykaż, że każde z nich należy do przedziału -1,3.

A
Ćwiczenie 30

Wykaż, że niezależnie od wartości współczynnika b funkcja kwadratowa fx=x2+bx+b-1 ma miejsce zerowe równe 1. Dla jakiej wartości b jest to jedyne miejsce zerowe tej funkcji?

A
Ćwiczenie 31

Jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej fx=-10x2+bx+1 jest liczba -12. Oblicz b oraz drugie miejsce zerowe funkcji f.

A
Ćwiczenie 32

Funkcja gx=x-3x+4 ma te same miejsca zerowe co funkcja f określona wzorem fx=-2x2+bx+c. Wyznacz bc.

A
Ćwiczenie 33

Funkcja f określona jest wzorem fx=x2+6x+c. Ustal liczbę miejsc zerowych funkcji f w zależności od wartości współczynnika c.