Wydrukuj Zapisz jako PDF Dodaj do ulubionych Udostępnij materiał
Przykład 1

Przyjrzyjmy się wykresowi zmian temperatury powietrza w pewnej miejscowości w marcu.

RvX9vsnqeLeX51

Z wykresu możemy odczytać, że temperatura powietrza w dniu 5 marca była równa 3°C,natomiast 11 marca wynosiła 4°C. Możemy też zadać pytanie: kiedy temperatura wynosiła 5°C? Z wykresu odczytujemy, że temperaturę 5°C  odnotowano czterokrotnie: 2, 12, 14, 26 marca.

RHwylfk87113M1

Szczególną wartością temperatury powietrza jest 0°C. W tej temperaturze woda przechodzi ze stanu stałego w ciekły lub na odwrót. Zadajmy sobie pytanie: kiedy w marcu, w tej miejscowości odnotowano temperaturę 0°C? Z wykresu odczytujemy: 6, 10, 16 marca. Przyjmijmy, że rysunek przedstawia wykres pewnej funkcji. Wtedy dla x=6, x=10, x=16 wartości tej funkcji wynoszą 0.

Miejsce zerowe funkcji
Definicja: Miejsce zerowe funkcji

Każdy argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość 0 nazywamy miejscem zerowym tej funkcji.

Przykład 2

Wykres przedstawia zmiany stanu konta klienta banku w pierwszych jedenastu dniach miesiąca.

R1Wvkqj0lAirg1

Klient zakupił lodówkę za kwotę 2 tys. euro (czyli stan jego konta zmniejszył się o 2 tys. euro w momencie dokonania płatności). Innych zakupów tego dnia już nie zrobił. Z wykresu odczytujemy, że zakup ten nastąpił 5. dnia miesiąca, gdyż 4. dnia stan konta wynosił 4 tys. euro, a 5 dnia 2 tys. euro, a w żadnym innym dniu stan konta nie był o 2 tys. euro niższy, niż w dniu poprzednim.

RH4fsDQO2pLj71

Konto klienta zostało zasilone kwotą 3 tys. euro. Którego dnia miesiąca zostało zasilone konto taką kwotą? Z wykresu możemy odczytać, że nastąpiło to w 7. dniu miesiąca.

R18Pl2IPLCSs11

Kiedy stan konta klienta był równy zero? Z wykresu odczytujemy, że klient miał zerowy stan konta 9.11. dnia miesiąca. W przypadku niektórych kont banki dopuszczają sytuację, w której klient wypłaca z konta więcej pieniędzy niż posiada na koncie. Powstaje wówczas tzw. debet. Możemy, analizując ciągle ten sam wykres, zapytać, czy na koncie klienta był w tym okresie debet, a jeśli był, to w jakiej wysokości. Debet ilustrują te punkty wykresu, które znajdują się poniżej osi poziomej układu współrzędnych, a więc punkty odpowiadające ujemnym wartościom funkcji. Z wykresu odczytujemy, że tylko w 1. dniu miesiąca miała miejsce taka sytuacja. Wielkość debetu wyniosła 1 tys..

Powyższe przykłady pokazują, że w praktyce niekiedy istotne jest określenie, w jakim przypadku funkcja przyjmuje wartość 0. Są też sytuacje, gdy wygodniej jest porównywać wartości funkcji z inną szczególną wartością tej funkcji. Na przykład, gdy analizujemy wykres temperatury ciała człowieka w pewnym przedziale czasowym, to temperaturę porównujemy z wartością 36,6°C. Jest to tzw. normalna temperatura ciała człowieka. Temperatura ciała wyższa od tej wartości, ale nie większa niż 37°C, wskazuje na stan podgorączkowy. Temperatura ciała wyższa niż 37°C oznacza gorączkę. Temperatura ciała człowieka niższa niż 36,6°C oznacza osłabienie organizmu.

Przykład 3

Na rysunku przedstawiony jest wykres temperatury ciała pacjenta, mierzonej co godzinę, przez kolejnych 12 godzin.

RMhKlUBAhqS591

Określmy kilka przykładowych wartości temperatury ciała tego pacjenta. W początkowym momencie mierzenia, czyli w chwili t=0 pacjent miał stan podgorączkowy, temperatura jego ciała była równa 37°C. W chwili t=4 temperatura jego ciała wynosiła 39°C, a więc miał wówczas gorączkę. Po siedmiu godzinach pomiaru temperatura ciała pacjenta przyjęła wartość normalną i taka temperatura utrzymywała się przez godzinę, do chwili t=8. Przez następne dwie godziny pacjent był osłabiony, ale od chwili t=10, aż do końca pomiaru, czyli do chwili t=12 znowu powróciła u niego temperatura normalna. Możemy więc powiedzieć, że normalna temperatura odnotowana była w dwóch przedziałach czasowych 7, 8 oraz 10, 12.

W praktyce często występują charakterystyczne wartości różnych wielkości, często inne niż zero, w stosunku do których odnosimy mierzone wartości. Np. temperatura 100°C, a więc temperatura wrzenia wody w warunkach normalnego ciśnienia, 50 km/h – dopuszczalna prędkość poruszania się pojazdów po drogach na obszarach zabudowanych, 8000 metrów n.p.m. – tzw. „granica śmierci” w górach.

Przykład 4

Gdy dziedziną lub zbiorem wartości funkcji jest zbiór nieograniczony, to jesteśmy w stanie narysować jedynie pewien fragment wykresu tej funkcji (ze względu na ograniczone rozmiary kartki papieru lub ekranu monitora). Jeśli narysowany jest jedynie fragment wykresu funkcji i nie wiemy nic więcej o tej funkcji, to nie możemy na podstawie tego fragmentu wykresu wyciągać wniosków, które dotyczą tych części wykresu, których rysunek nie przedstawia. Na przykład na podstawie przedstawionego fragmentu wykresu funkcji h możemy podać jej miejsce zerowe x=2 i stwierdzić, że w widocznym na rysunku przedziale -6,6 innych miejsc zerowych ta funkcja nie ma.

Rv8lkSUNJyE7j1

Jeśli wiedzielibyśmy, że funkcja przedstawiona na wykresie jest dla każdego rzeczywistego określona wzorem

hx=12x-1,

to wyznaczenie jej wszystkich miejsc zerowych sprowadziłoby się do rozwiązania równania hx=0, co równoważnie zapisujemy 12x-1=0, skąd 12x=1, czyli x=2.